青岛理工大学701量子力学考研真题及辅导用书

考研真题

1. 2026年量子力学考研真题精解精析50题

2. 全国名校量子力学考研真题汇总

考研指导书

1. 周世勋《量子力学教程》（第2版）笔记和课后习题（含考研真题）

2026年量子力学考研真题精解精析50题AI讲解

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量子力学考研真题精解精析50题

1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。

（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；

（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同）

[浙江大学2014研]

【解题思路】

①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。

②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。

③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。

【解析】

（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量

由薛定谔方程

得本征能量为

本征波函数为

两粒子间有相互作用

设

因此

即

所以

因为

所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。

因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为

满足交换对称性。

为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即

所以体系的基态波函数为

基态能量为

（2）当S₁＝S₂＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。因为，所以体系基态选择n₁＝n₂＝1。因此体系坐标部分的波函数为

满足交换对称性。

为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即

所以体系的基态波函数为

基态能量为

【知识储备】

①一维线性谐振子

势能满足方程

本征值

本征函数

其中

②两个角动量的耦合

a．体系的总角动量满足角动量的一般对易关系

b．力学量的共同本征函数，满足

其中

③两个电子的自旋函数

若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数和反对称自旋波函数分别写为

其中

表示第1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。

④费米子与波色子

【拓展发散】

①在冷原子研究领域，粒子除了可以被束缚在谐振子势中，也可以放置于

a．无限深势阱中

b．硬核球势阱中

其中，a为球势阱半径。

②当要求体系中粒子的本征能量和波函数不是基态时，这时坐标部分的波函数可以构成交换反对称和交换对称的波函数，则按照费米子和玻色子满足的量子统计性质，选择相对应的自旋部分的波函数，最终可以得到要求的交换反对称或者交换对称总波函数。

【注】当两粒子坐标部分的波函数不在相同的量子态时，对于两个费米子组成的体系，由于洪特规则的限制，为了使得体系能量最低，体系基态的自旋部分只能选择自旋三重态，即要求总自旋最大化。

③体系中的粒子数可以不止两个，比如三个或者更多个粒子，也可以是玻色子和费米子的mixture，诸如此类问题，这些是冷原子物理中研究的前沿，需要更多仔细的思考。

④关于角动量理论

本题中涉及的两个粒子的相互作用是，即自旋-自旋作用，也可以考查自旋-轨道相互作用（spin-orbit coupling），这些问题部分涉及当前的研究前沿，对于学有余力并对量子力学兴趣浓厚的同学值得去思考探究。

2有一量子力学体系，哈密顿量H的本征值与本征矢分别为E_n与，，设F为任一算符，试证明

[中国科学院2006研]

【解题思路】

①对于证明题，可以从右边证到左边结果，也可以从左边证到右边，这需要根据题目所提供的具体信息判断，针对本题知道的本征方程，再观察分析要证明的等式的左右两边，可以明显判断从左边证明比较方便；

②对于哈密顿量的有关性质在证明的过程中也可以充分使用，比如厄米性；

③对于对易关系式和反对易关系式的展开需要熟练掌握的同时并且对于它们背后的物理内涵有深刻理解；

④灵活运用完备性等式。

【解析】

证明：因为本征方程和，所以，因此

因为粒子数表象中基矢的完备性等式，所以

得证。

【知识储备】

①哈密顿量的厄米性

②粒子数表象中基矢的完备性满足等式

③力学量算符的对易关系式为

反对易关系式为

对易式中满足的基本恒等式

[A，B＋C]＝[A，B]＋[A，C]

[A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C

[AB，C]＝A[B，C]＋[A，C]B

[A，[B，C]]＋[B，[C，A]]＋[C，[A，B]]＝0

【拓展发散】

①本题设定在粒子数表象中证明等式，求得任一力学量和哈密顿量所满足的等式关系，也可以增加给定条件，若F也满足厄米性，，可以进一步确定在这种情况下满足的关系式；

②对于有关连续变量的表象也可以用同样的方法去证明，同时要注意表达式中符号的书写规范。

3（1）考虑自旋为1/2的系统，试在S²，S_z表象中求算符AS_y＋BS_z的本征值及归一化的本征态，其中S_y，S_z是自旋角动量算符，而A，B为实常数；

（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量S_y得到结果为的概率。

[中国科学院2007研]

【解题思路】

①根据表象理论，一力学量在自身表象中的矩阵形式为对角矩阵，在这表象中，任意力学量的表达形式可以通过变换矩阵来求得；

②通过力学量的矩阵形式来求解本征值和本征函数；

③对量子系统进行测量，发生波包塌缩，对于力学量的测量所得本征值的几率可以通过力学量本征波函数完备展开计算得出。

【解析】

（1）对于自旋为1/2的系统，在S²，S_z表象中则有

令本征方程为

并且本征值

所以

即

由久期方程可以得出本征值和相应的本征波函数为

当时，

当时，

（2）自旋S_y的本征值为的波函数为

所以系统处于上，测量S_y得到结果为的概率为

【知识储备】

①在表象中，，，的表示矩阵分别为

②力学量算符Q(∧)的本征方程为

设任意波函数

其中

体系部分地处于态u_n中相应的概率分别为。

【拓展发散】

①在S_x表象中求算符AS_y＋BS_z的本征值及归一化的本征态；

②系统自旋为1，比如光子，可以同样求解算符AS_y＋BS_z在S_z表象中的本征值及归一化的本征态，但这时候要计算的矩阵为3×3。

4一个质量为m的粒子被限制在r＝a和r＝b的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其它势，求粒子的基态能量和归一化波函数。[中国科学院2007研]

【解题思路】

①分析题中所给出的信息，构建物理模型，r＝a和r＝b为粒子的运动边界，从r＝a到r＝b粒子只有动能，势能为零，在此之外，势能无穷大；

②对于与时间无关的势场下粒子的运动，显而易见，直接使用定态薛定谔方程求解粒子的本征能量和本征波函数；

③观察分析所提供的球面间的势能，也就可以和中心力场情况相类比，对于这种情况，一般选择在球坐标中解决问题比较方便。

【解析】粒子在r＝a和r＝b的两个不可穿透的同心球面之间运动，其相应的势能形式为

所以由定态薛定谔方程可得对应的在球坐标系中的本征方程为

令

ψ（r，θ，φ）＝R（r）Y（θ，φ）

因此

在范围内，当时，

令

则

解得

由边界条件可知

相应的有

令，即，所以，即，因此

由波函数的归一化可得

所以

即本征值和本征波函数分别为

【知识储备】

①在中心力场中运动的类氢原子的哈密顿量为

相应的本征方程为

其在球极坐标中的表示形式为

令ψ（r，θ，φ）＝R（r）Y（θ，φ），则R（r）应满足径向方程

为方便求解，令，u（r）所满足的方程为

②波函数的归一化条件

③波函数必须满足的三个基本条件

有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；

单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；

连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。

【拓展发散】

①粒子在r＝a和r＝b的两个同心球面之间运动，r＝b处的势能为一个有限值，求解透射率；

②两个玻色子或者费米子在在r＝a和r＝b的两个同心球面之间运动，求解基态和第一激发态的波函数，这时候需要考虑整个量子体系满足玻色爱因斯坦统计或者费米狄拉克统计，也就是波函数要求交换对称和反对称，波函数为自旋波函数和坐标波函数的乘积，自旋部分有自旋单态和自旋三重态的考虑。

5处于一维谐振子势基态的粒子，受到微扰作用，求粒子跃迁到其它个激发态的总几率和仍处于基态的几率。[中国科学院2008研]

【解题思路】

①在无微扰的状态下，粒子处在一维谐振子势的基态，这时候可以明确相应的本征能量和波函数，同时可以判断所处状态是简并还是非简并；

②系统受到的微扰是坐标和时间的函数，明显可以直接使用含时微扰理论来求解跃迁几率。

【解析】分析题意，利用含时微扰理论可得，体系在微扰作用下由初态f_k跃迁到终态f_m态的概率幅为

其中k＝0，即粒子初始状态为基态，因为

并且对于谐振子的波函数而言

所以

因此

所以跃迁几率为

处在基态的几率为

【知识储备】

①一维谐振子势能满足方程

由定态薛定谔方程可以求得，

本征值为

本征函数为

其中

②含时微扰体系哈密顿量，体系波函数ψ所满足的薛定谔方程为

将ψ按的本征函数f_n展开得

则在t时刻发现体系处于f_m态的概率是|a_m（t）|²。

若体系在t＝0时处于的本征态f_k，则

体系在微扰作用下由初态f_k跃迁到终态f_m态的概率幅为

相应的跃迁概率为

【拓展发散】

①有关函数的问题较为简单，无论坐标还是时间，都可以直接把积分函数解出答案，在本题中可以把微扰变为，来求解跃迁几率；

②粒子处在激发态会增加运算难度，但思路一样；

③粒子处在其他形式的势场，比如，一维无限深势阱、势垒、球势阱；

④两个或者两个以上玻色子或者费米子，这时候如果是激发态，则要利用量子体系的统计性质构造总波函数满足对称性或反对称性，然后利用含时微扰计算跃迁几率。

6设氢原子处在R₂₁Y_1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。[复旦大学2004研]

【解题思路】

①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关；

②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理；

③轨道角动量力学量的本征方程。

【解析】

（1）对于中心力场，由维里定理可得

因为

所以

（2）令

所以

因此

所以

【知识储备】

①氢原子本征方程

本征能量为

其中

本征波函数为

ψ_nlm（r，θ，φ）＝R_nl（r）Y_lm（θ，φ）

②维里定理

如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为

③（L²，L_z）有共同的本征函数——球谐函数Y_lm（θ，φ）

角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为

相应的本征方程分别为

【拓展发散】

假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。

7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。已知开始时系统处于状态，A为常数。

（1）写出t时刻系统的波函数；

（2）求出t时刻系统的平均能量。

[中国科学技术大学2012研]

【解题思路】

根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。

【解析】

（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为：

其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为：

容易解得

相应的能量本征值为：

可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。

对于态，先归一化。利用，可得，从而

我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出：

（2）t时刻系统的平均能量为：

其中。

【知识储备】

①薛定谔方程

波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U（r(→)，t）与t无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y（r(→)）满足定态薛定谔方程

此方程即是能量算符的本征方程。

②在某一表象下，算符F(∧)在ψ态中的平均值为

8设有一个质量为m的粒子处于（0，a）区域的一维无限深势阱中，其状态波函数为，试求解以下问题：

（1）一维无限深势阱的本征值；

（2）测量到的粒子处于不同能量本征态的几率；

（3）测量到的粒子能量平均值。

[南京大学2014研]

【解题思路】

①对于一维无限深势阱中的粒子，一般假定势能不随时间变化，这是定态问题，显然，这可以直接使用薛定谔方程来求解本征波函数和本征能量；

②由薛定谔方程求解出的一维无限深势阱中的粒子的本征波函数构成正交归一完备集，所有的波函数都可以用此完备集展开；

③量子力学中一个力学量的测量会引起波包塌缩，各个对应本征态的几率可以对相应完备展开式做傅里叶变换得出。

【解析】

（1）由题意可知，在一维无限深势阱中运动的粒子所受的势能为

当时，由定态薛定谔方程可得

即

令

所以

解得

本征能量为

（2）由波函数的归一性

可得

即

由的完备性可得

由傅里叶变换可得

即

所以测量到的粒子处于的几率为

（3）由能量平均值公式可得

【知识储备】

①一维无限深方势阱

若势能满足

在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是

在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是

体系的能量本征值

本征函数

②力学量完备集

任一函数ψ（x）可以用一组完全系{f_n（x）}来表示

其中，c_n常被称为概率振幅，可由下式计算

同时满足

其物理意义是：当体系处于波函数ψ（x）描写的状态时，测量力学量F(⌒)所得的值，必定是算符F(⌒)的本征值之一，测得F＝λ_n的概率为|c_n|²。

力学量F(⌒)的平均值称为期望值，可表示成

【拓展发散】

①由于外力的作用，分为两种方式改变一维无限深方势阱的阱宽，一种是缓慢改变，另外一种是急剧改变，缓慢改变的方式还可以结合绝热近似进行考察；

②借助一维无限深方势阱的物理模型，也可以考察在本征态中一些力学量对应的矩阵形式。

9试给出以下量子力学基本概念的中文翻译、定义与相关公式：

（1）Eigen-function

（2）Stationary state

（3）Superposition principle

[南京大学2013研]

【解题思路】

对于量子力学中的重要的概念和定义需要了解对应的英文表达，注重平常在这方面的积累。

【解析】

（1）Eigen-function：本征波函数

本征方程，其中为本征波函数，f为本征值。

（2）Stationary state：定态

定态波函数的形式为

（3）Superposition principle：叠加原理

如果y₁、y₂、…、y_n、…是体系的可能状态，那么它们的归一化的线性叠加形式为c₁y₁＋c₂y₂＋…＋c_ny_n＋…，也是微观粒子的可能状态。

【知识储备】

①量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。

厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

a．当算符的本征函数组成分立谱时，有

b．当算符的本征函数组成连续谱时，有

②波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U（r(→)，t）与t无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y（r(→)）满足定态薛定谔方程

此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为

一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。

10简答题：

（1）波函数有没有物理含义？它的物理含义体现在哪里？物理上对波函数有哪些要求？

（2）在希尔伯特（Hilbert）空间中，正交归一的完备基矢组设为，试分别就分立谱和连续谱情形，写出这组基矢完备性的数学表达式。

（3）一束单能量无相互作用的粒子流，经中心势场V（r）弹性散射后，在r＝∞处的渐进解为 ，试解释表达式中的第一项和第二项的物理意义，并说明的含义。

[厦门大学2011研]

【解题思路】

对于波函数、基矢完备性和弹性散射粒子波函数等基本概念和定义在复习的时候需要理解清楚，这也有助于综合型题目的分析和解决。

【解析】

（1）波函数本身没有物理含义，波函数的平方代表粒子在空间出现的概率密度，将波函数的平方对空间积分则代表粒子在空间出现的概率。

波函数必须满足的三个基本条件：

有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；

单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；

连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。

（2）分立谱

连续谱

（3）表示入射波波函数，表示球散射波波函数，f（θ，φ）称为散射振幅，满足微分散射截面q（θ，φ）＝|f（θ，φ）|²。

【知识储备】

①玻恩对波函数的统计解释

波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方|y（r(→)，t）|²）和在该点（x，y，z）找到粒子的概率成比例。

②力学量存在连续谱和分立谱时，则ψ（x）可表示为

其中

力学量的平均值可以表示为

③弹性散射

散射粒子在离开散射中心很远的地方，波函数可表示为

微分散射截面：微分散射截面q（θ，φ）是单位时间内散射到（θ，φ）方向单位立体角内的粒子数与入射粒子流强度N之比

散射总截面

11对低速运动的一维自由粒子，指出下列推导过程中的错误所在：

由，，和，得

[厦门大学2006研]

【解题思路】

理解清楚德布罗意公式中各个符号所代表具体的物理含义。

【解析】

题中对于低速运动的一维自由粒子进行了一些能量和运动关系的推导，明显看出是错误的，假设这个公式正确，两边同乘以，得出①。

根据德布罗意公式

则①式左边可以得出，①式右边可以得出

出现矛盾，因此假设是错误的。

【知识储备】

德布罗意公式：德布罗意受光的波粒二象性启发，提出微粒具有波粒二象性的假设，即微粒的粒子性（E，p(→)）与波动性（ν，λ或ω，k）的关系满足：

12粒子作一维运动时，常将P_x简写为P.设F（x，p）是x，p的整函数，即，证明：

（1）

（2）

[厦门大学2006研]

【解题思路】

①熟练掌握力学量的对易关系恒等式；

②对于坐标和动量的对易关系要熟记。

【解析】

（1）因为

所以

即

由递推关系可得

（2）

【知识储备】

①对易式中满足的基本恒等式

[A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C

②x与p满足的对易关系

13一个质量为μ的粒子在下面的一维势阱中运动：

其中a、A为常量。

（1）绘出此系统的第一激发态能量g；

（2）已知此系统之基态能量非负，请问A要满足什么条件？

[中国科学技术大学2012研]

【解题思路】

已知势阱的势能形式，可以直接利用定态薛定谔方程求解本征波函数和本征能量。

【解析】

（1）由于势与时间无关，所考虑的是定态问题。体系的定态薛定谔方程可以写为：

代入势的具体形式，可知，在区域，方程可化为：

在附近对上式积分，得到

在区域其余位置，薛定谔方程为

其中

方程的解为：

在区域，，只有，薛定谔方程才能被满足。

利用波函数的连续性条件，，以及a附近的跃变关系，可以求得应满足

解得，利用，即可给出各级能量。

（2）若系统之基态能量非负，，将代入上式，可得

上述两个方程将限制及。

【知识储备】

①定态薛定谔方程

②波函数必须满足的三个基本条件

有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；

单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；

连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。

14简答题

（1）解释微观粒子的波粒二象性，并写出德布罗意关系式。

（2）解释能级简并的概念并指出其起因。

（3）经典力学和量子力学中，守恒量的含义有何不同？

（4）Clebsch-Gordan系数（记为）不为零的条件。

（5）微扰论的适用条件是什么？在库仑场中，微扰理论为什么不适用于计算高能级（n较大）的修正？

[厦门大学2008研]

【解题思路】

理解清楚量子力学中重要概念和公式的物理含义，以及辨析经典力学和量子力学的区别。

【解析】

（1）微粒具有波粒二象性，即微粒同时具有粒子性与波动性；

德布罗意关系式满足

（2）在能量本征方程中，如果存在一个能量本征值对应多个不同的能量本征函数，则称为能级简并；

能级简并的原因是哈密顿量的对称性。

（3）在经典力学中，守恒量是不随时间改变；在量子力学中，守恒量是力学量的平均值不随时间变化。

（4）m＝m₁＋m₂

（5）定态非简并微扰的适用条件为

由定态薛定谔方程可以求解库仑场中的能级表达式为

其中，n＝1，2，3，…

显而易见，随着n的增大，能级间的距离越来越小，即越小，因此将不再成立，所以，在库仑场情形下，微扰理论只适用于计算低能级的能量修正。

【知识储备】

①德布罗意受光的波粒二象性启发，提出微粒具有波粒二象性的假设，即微粒的粒子性（E，p(→)）与波动性（ν，λ或ω，k）的关系满足：

②在量子力学中，力学量F的平均值随时间的变化满足

若（即力学量F的平均值不随时间变化），则称F为守恒量。力学量F为守恒量的条件为，且[F，H]＝0。

a．动量守恒定律：自由粒子的动量是守恒量，。

b．角动量守恒定律：在中心力场中运动粒子的角动量的平方及其分量都是守恒量，，。

c．能量守恒定律：哈密顿不显含时间的体系的能量是守恒量，。

d．宇称守恒定律：哈密顿对空间反演不变时宇称是守恒量，。

③CG系数：在耦合表象中，任一波函数都可以由某一个完全系展开

其中，是矢量耦合系数或者CG系数。

15简答题

（1）若波函数和是某一体系的含时薛定谔方程的两个解，那么和的线性叠加是否满足同样的含时薛定谔方程？和的乘积呢？

（2）什么是厄米算符？判别算符是否为厄米算符。厄米算符的本征值为实数，这对量子力学有何重要意义？

（3）什么是力学量完全集？力学量完全集中是否含有本征值都不简并的算符？若有，说明理由。

（4）“根据测不准关系，力学量是无法准确测量的”，这个说法对吗？为什么？

（5）在量子力学中，何种力学量算符的本征值都是分立的？何种力学量算符的本征值都是连续的？

[厦门大学2010研]

【解题思路】

①理解波函数的叠加态；

②记忆厄米算符的定义式，并能对所给算符判断是否属于厄米算符，并理解厄米算符的意义；

③理解力学量完全集合简并的概念；

④理解不确定性原理；

⑤理解力学量的分立本征值和连续本征值。

【解析】

（1）因为波函数和是某一体系的含时薛定谔方程的两个解，所以

在上面两个等式的左右同时乘以A、B两个不含时的实数，这是明显成立的，即

所以它们相加可得

因此和的线性叠加满足同样的含时薛定谔方程，同理可得

所以和的乘积不满足同样的含时薛定谔方程。

（2）厄米算符：，即对任意函数u，v，满足

算符不是厄米算符；在量子力学中，力学量测量所得出的本征值为实数，因此，量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。

（3）通过一组相互对易的力学量，可以完全确定系统的状态，这组力学量称为力学量完全集。力学量完全集中不含有本征值都不简并的算符，比如，类氢原子的力学量完全集为H，L²，L_z。

（4）“根据测不准关系，力学量是无法准确测量的”这种说法是错误的，这是完全的经典物理的思考方式，在量子力学中，对于力学量算符F和G而言，存在关系

这不是准确测量的问题，由于力学量F和G存在某种对易关系，使得它们测量值的涨落存在表达式这种关系。

（5）对于力学量的本征函数为束缚态的，其对应的本征值为分立的，相反，力学量的本征值为连续的。

【知识储备】

①态叠加原理：设y₁、y₂、…、y_n、…是体系的可能状态，那么它们的归一化的线性叠加形式为c₁y₁＋c₂y₂＋…＋c_ny_n＋…，这也是微观粒子的可能状态。也可以说，当体系处于态y时，体系部分地处于态y₁、y₂、…、y_n、…中；相应的概率分别为|c₁|²，|c₂|²、…、|c_n|²，…。

②薛定谔方程：

波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U（r(→)，t）与t无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y（r(→)）满足定态薛定谔方程

③对于两个算符F，G，若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。

对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。

若[F，G]≠0，则有不确定关系

或

不确定原理的经常使用的关系式

④束缚态：在无限远处波函数为零的量子态，一般而言，束缚态对应的能级为分立的。

16设有2维空间中的如下矩阵

（1）请考察A的厄米性；

（2）请写出A用展开的表达式，其中为著名的Pauli矩阵；

（3）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。

[中国科学技术大学2012研]

【解题思路】

①根据力学量算符的厄米性判断；

②单位矩阵和泡利矩阵可以构成完备集合，任意的力学量都可以表示成它们的组合；

③根据力学量的本征方程求解本征值和本征函数。

【解析】（1）矩阵A的转置共轭为：

因此，矩阵A为厄米矩阵。

（2）Pauli矩阵分别为：

因此，可以得到

（3）矩阵A的本征方程为：

相应的久期方程为：

容易解得，。将本征值代入本征方程，可以求得相应的本征态。

当时，可得，所以归一化的本征态可写为：

当，可得，所以归一化的本征态可写为：

【知识储备】

①厄米矩阵A^＋＝A；

②Fu＝fu，u为本征函数，f为本征值.

17简答题：

（1）波函数归一化条件的物理意义是什么？物理上对波函数有哪些要求？

（2）什么是幺正算符？若A，B，C均为幺正算符，则它们之积ABC是否为幺正算符？为什么？

（3）光的辐射分为几个过程？若粒子由E2能级跃迁至E1能级，写出其辐射光子的频率。

（4）对处于某量子态的电子，如沿z轴方向测量其自旋，总是得到的结果。那么沿x轴方向测量其自旋，应该得怎样的结果？

（5）若算符A不显含时间且与体系的哈密顿量H对易，即，那么A是体系的守恒量吗？说出你的判断理由。

[厦门大学2012研]

【解题思路】

①理解量子力学中波函数的重要意义；

②记忆幺正算符的定义式和其对应的力学量的性质和物理内涵；

③理解、辨析光子与物质（电子）的相互作用过程中具体行为；

④了解自旋的测量；

⑤理解量子力学中守恒量的推导过程以及物理意义。

【解析】（1）波函数归一化代表粒子在整个空间出现的概率为1；

波函数必须满足的三个基本条件

有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；

单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；

连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。

（2）因为A，B，C均为幺正算符，所以

即ABC是幺正算符。

（3）物质中的电子吸收光子，然后在激发态的电子发生受激发射或者自发发射。由能量守恒可得

因此，辐射光子的频率为

（4）电子沿x轴方向测量自旋与沿z轴方向相同，得到；

（5）算符A不显含时间，则，体系的哈密顿量H对易，则，所以

因此，力学量A的平均值不随时间变化。

【知识储备】

①波函数是用于描述量子体系状态的函数，记为y（r(→)，t），波函数的归一化条件

玻恩对波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方|y（r(→)，t）|²）和在该点（x，y，z）找到粒子的概率成比例。

②自发跃迁和受激跃迁的定义

自发跃迁：在不受外界影响的情况下体系由能级ε_m跃迁到较低能级ε_k；

受激跃迁：体系在外界（如辐射场）作用下由ε_m跃迁到较低能级ε_k。

③每个电子具有自旋角动量，在空间任意方向上的投影只能取两个数值，满足

④力学量F的平均值随时间的变化满足

若（即力学量F的平均值不随时间变化），则称F为守恒量。力学量F为守恒量的条件为，且[F，H]＝0。

18两个线性算符A和B满足下列关系：A²＝0，AA^＋＋A^＋A＝1，B＝A^＋A

（1）求证B²＝B；

（2）求在B表象中A和B的表达式。

[中国科学院2006研]

【解题思路】

理解并记忆量子力学中算符的运算规则。

【解析】

（1）证明

（2）对于B的本征方程有，所以

因此，，即或。

在B表象中B的表达式为

令在B表象中A的表达式为

因为

所以

即

因为

所以

即

因此

因为B＝A^＋A，所以，b²＝1，即，所以

【知识储备】

算符具有的基本性质：

①算符相等：如果对任意函数u，满足F(∧)u＝G(∧)u，则称算符F(∧)＝G(∧)。

②单位算符作用于任意函数u上，u不变。

③算符之和

对于任意函数u，有（F(∧)＋G(∧)）u＝F(∧)u＋G(∧)u，满足：

a．交换律：F(∧)＋G(∧)＝G(∧)＋F(∧)；

b．结合律：（F(∧)＋G(∧)）＋M(∧)＝F(∧)＋（G(∧)＋M(∧)）。

④算符乘积：（F(∧)G(∧)）u＝F(∧)（G(∧)u），一般不存在F(∧)G(∧)＝G(∧)F(∧)，除非F(∧)，G(∧)对易。

算符对易：F(∧)G(∧)＝G(∧)F(∧)；算符反对易：F(∧)G(∧)＝－G(∧)F(∧)。

⑤逆算符：如果F(∧)G(∧)＝I(∧)，则称F(∧)，G(∧)互为逆算符，记F(∧)^－1＝G(∧)，G(∧)^－1＝F(∧)。

两个算符的乘积的逆满足：（F(∧)G(∧)）^－1＝G(∧)^－1F(∧)^－1。

19有一个一维束缚体系（如一维谐振子），其Hamilton量为束缚定态记为（均已归一化），相应的能量本征值为..现体系受到微扰作用，微扰Hamilton量可以表示为

其中λ为小的实数常量，A为已知的厄米算符。请计算微扰修正后体系的束缚定态（要求准确到λ一阶）和能级（要求准确到λ二阶）。[中国科学技术大学2012研]

【解题思路】

已知微扰不随时间改变，且状态非简并，则可以直接使用定态非简并微扰理论求解修正后的能量和波函数。

【解析】能量的一级修正为

能量的二级修正为

下面计算

因此

考虑到A的厄米性，以及求和中当时为零

所以近似到二级，体系的能量为

近似到一级，体系的量子态为

【知识储备】

定态非简并微扰理论

微扰作用下的哈密顿量

H＝H₀＋H′

第n个能级的近似表示

波函数的近似表示

20粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。[中国科学院2006研]

【解题思路】

利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。

【解析】

根据不确定原理有

即

因为

所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。

令

由

得出

所以基态能量为

【知识储备】

若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。

对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。

若[F，G]≠0，则有不确定关系

或

经常使用的关系式

21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。[中国科学院2006研]

【解题思路】

理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。

【解析】

根据含时薛定谔方程

令

带入可得

即

上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得

和

所以

对于

令

所以

因此

当时，

相对于一维自由平面波函数，使得波函数是自由平面波随时间做改变的形式。

【知识储备】

薛定谔方程：

波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U（r(→)，t）与t无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y（r(→)）满足定态薛定谔方程

此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为

一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。

【拓展发散】

当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。

22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：

（1）A²＋B²＝1，且；

（2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。

[中国科学院2006研]

【解题思路】

理解厄米算符和幺正算符的定义和物理含义，并注意辨析它们之间的区别，不要混淆。

【解析】

（1）因为U为幺正算符，所以和，由可得

由可得

因此

（2）因为，所以算符A和算符B有共同的本征函数，即，。

因为

所以

即

所以

其中，。

【知识储备】

①幺正算符

S^＋＝S^－1

②厄米算符

23粒子在一维无限深方势阱中运动，受到微扰的作用，求第n个能级的一级近似，并分析所得结果的适用条件。[中国科学院2006研]

【解题思路】

对于在一维无限深方势阱中运动的粒子，可以通过定态薛定谔方程求解本征值和本征波函数，而在受到微扰后，可以直接利用定态非简并微扰理论求解修正的能量和波函数。

【解析】在一维无限深方势阱中运动的粒子受到的势能函数为

所以利用定态薛定谔方程可得对应的本征波函数和本征值分别为

当粒子受到微扰时，利用定态非简并微扰理可得一级修正为

相应的适用条件

所以

【知识储备】

①一维无限深方势阱

若势能满足

在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是

在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是

体系的能量本征值

本征函数

②定态非简并微扰理论

微扰作用下的哈密顿量

H＝H₀＋H′

第n个能级的近似表示

波函数的近似表示

适用条件

【拓展发散】

在同样的物理模型和情形下，改变微扰的具体形式，可以用同样方式求解修正的能量和波函数，如果微扰是含时微扰，则可以用含时微扰理论求解跃迁几率。

24粒子以能量E入射一维方势垒，，设能量，求透射系数T。[中国科学院2006研]

【解题思路】

对于已知势场具体表达式的情况，明显利用薛定谔方程求解本征波函数和本征值，在势垒存在时，根据透射系数和反射系数的定义式求解相应的结果。

【解析】对于入射一维方势垒的粒子，由定态薛定谔方程可得

当x＜0时，

令

得

当时，

令

得

当x＞a时，

令

得

由波函数在x＝0处的连续性可得

1＋B＝C₁＋C₂

由波函数在x＝0处的导数连续性可得

由波函数在x＝a处的连续性可得

由波函数在x＝a处的导数连续性可得

整理可得

透射系数为

【知识储备】

①定态薛定谔方程

②方形势垒

在量子力学中，与经典物理显著不同的是，能量E大于U₀的粒子有可能越过势垒，但也有可能被反射回来；而能量E小于U₀的粒子有可能被势垒反射回来，但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边x＞a的区域中去。

当E＞U₀，透射系数D表示贯穿到x＞a区域的粒子在单位时间内流过垂直于x方向的单位面积的数目，与入射粒子（在x＜0区域）单位时间内流过垂直于x方向的单位面积的数目之比。反射系数R表示反射波概率流密度与入射波概率流密度之比。有R＋D＝1，D和R都小于1。这说明入射粒子一部分贯穿势垒到x＞a区域，另一部分被势垒反射回去。

【拓展发散】对于粒子入射方势垒的物理模型，分别假设E＞V和E＜V的情形，对比两种情况得出的结果的异同点，并且和经典物理相比较，分析量子力学和经典物理在粒子入射方势垒的物理模型中所表现的差异，再对一些参量作极限考虑，由量子力学可以过渡到经典物理，以此可以判断量子力学和经典物理不是完全分割的，它们有密不可分的关系。

25各向同性的三维谐振子哈密顿算符为，加上微扰后，求第一激发态的一级能量修正。[中国科学院2006研]

【解题思路】

在量子力学中，谐振子模型是可解模型之一，也是在不同物理科研领域应用最广的模型，对于各向同性的三维谐振子，可以利用定态薛定谔方程求解本征波函数和本征值，加上微扰，分析微扰的表达式，可知x，y，z三个方向是等效的，因此在求解能量修正时，可以利用积分函数的对称性来简化相关计算。

【解析】

对于各向同性的三维谐振子，利用定态薛定谔方程可得

求解可得本征波函数为

本征值为

其中

并且，

因此，各向同性的三维谐振子的第一激发态为

或者

或者

所以第一激发态是三重简并的，相应的波函数为

当加上微扰

可以利用定态简并微扰理论

久期方程为

对应的矩阵形式为

利用积分函数的对称性可得

求解可得第一激发态的一级修正为

【知识储备】

①一维线性谐振子

势能满足方程

本征值

振子的基态（n＝0）能量，零点能

本征函数

其中

②简并定态微扰

能级的一级修正由久期方程给出，即

有f_k个实根，记为，α＝1，2，…，f_k。

分别把每一个根代入方程

即可求得相应的解，记为a_αv。

于是可得出新的零级波函数

相应的能量为

上面所求解的一级修正能量如果都不相同，则简并完全消除；如果有部分相同，则还需要求解更高阶的修正。

【拓展发散】

改变微扰哈密顿量形式为，或者把微扰哈密顿量变成不对称的形式，增加计算难度。

26计算一维谐振子基态中的不确定度乘积＝？[中国科学技术大学2012研]

【解题思路】

对于坐标和动量算符力学量的涨落，可以通过升降算符的方式，比较简单的求解它们的平均值。

【解析】

对于一维谐振子，设能量的本征态为，相应的能量本征值为。算符，与升降算符之间的关系为

其中

对于体系基态，相关的平均值为：

所以

最终得到

【知识储备】

升算符（也称产生算符）

降算符（也称湮灭算符）

它们满足下列关系

粒子湮灭算符满足

粒子产生算符满足

27自旋为1/2，磁矩为μ，电荷为零的粒子置于磁场中，t＝0时磁场为，粒子处在的本征值为-1的本征态，设在t＞0时，再加上弱磁场，求t＞0时的波函数，以及测到自旋反转的概率。[中国科学院2006研]

【解题思路】

在原置于磁场中的零电荷的粒子上，加载一个恒定的弱磁场，可以利用含时微扰理论，求解粒子自旋状态的反转概率。

【解析】

在t＝0时，粒子在磁场中的哈密顿量为

粒子的处在本征态上，则相应的能量为

在t＞0时，粒子受到弱磁场的微扰，其相应的微扰哈密顿量为

粒子的初态为，粒子状态反转，其末态为。

根据含时微扰理论可得相应的跃迁概率为

其中

其中体系在微扰作用下由初态f_k跃迁到终态f_m态的概率幅为

相应的矩阵元为

并且

因此

所以自旋反转的概率为

【知识储备】

①自旋为1/2粒子在磁场中的作用势为，其中为磁矩。

②含时微扰理论

含时微扰体系哈密顿量

H(∧)（t）＝H(∧)₀＋H(∧)′（t）

体系波函数ψ所满足的薛定谔方程为

将ψ按H(∧)₀的本征函数f_n展开得

则在t时刻发现体系处于f_m态的概率是|a_m（t）|²。

若体系在t＝0时处于H(∧)₀的本征态f_k，则

体系在微扰作用下由初态f_k跃迁到终态f_m态的概率幅为

相应的跃迁概率为

【拓展发散】

粒子带上电荷，改变微扰的形式，在原有磁场的基础上加一个周期性脉冲的磁场，形成类似拉比震荡的模式。

28粒子在势场V中运动并处于束缚定态中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。[中国科学院2006研]

【解题思路】

直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。

【解析】

在势场V中，粒子所受作用力为

因此作用力F的平均值为

得证。

【知识储备】

①束缚态：在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。

②

即

③在某一表象下，算符F(∧)在ψ态中的平均值为

29两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0＜x＜a）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数：

（1）两个自旋为1/2的可区分粒子；

（2）两个自旋为1/2的全同粒子。

[中国科学院2007研]

【解题思路】

对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。

【解析】

（1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得

波函数为

本征能量为

对于两个可区分粒子

基态

能量

波函数

因此，能级简并度为4。

第一激发态

或者

能量

波函数

因此，能级简并度为8。

（2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。

基态

能量

波函数

能级非简并。

第一激发态

或者

能量

波函数

能级简并度为4。

【知识储备】

①一维无限深方势阱

若势能满足

在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是

在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是

体系的能量本征值

本征函数

②全同粒子

a．全同粒子定义

在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。

b．全同性原理

全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

描述全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称的，而且这种对称性不随时间改变。

c．两个电子的自旋函数

若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χ_S和反对称自旋波函数χ_A，分别写为

【拓展发散】

两个自旋为1的全同粒子，即玻色子，求解相应的波函数和能量，以及简并度。

30假设自由空间中有两个质量为m、自旋为/2的粒子，它们按如下自旋相关势相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g＞0为常量，而（i＝l，2）为分别作用于第i个粒子自旋的Pauli矩阵。

（1）请写出该两粒子体系的一组可对易力学量完全集；

（2）请给出该体系各束缚定态的能级g；

（3）请写出该体系的基态，并注明相应的量子数。

[中国科学技术大学2012研]

【解题思路】

①可以选取和哈密顿量对易的力学量算符，来确定一组可对易力学量完全集；

②直接利用定态薛定谔方程求解本征能量和本征态。

【解析】

（1）体系的哈密顿量可以写为

令，则，与哈密顿量对易。对于，此结果是显然的。

对于

体系的角动量显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组即为体系的一组可对易力学量完全集。

（2）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写为

其中为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量完全集的本征函数

由于

满足

其中。

令

可知只有，才会出现束缚态。

将写为

可知

将上述方程与氢原子情形时相类比，可知束缚态能级为

（3）对于体系的基态为

相应的量子数

其中为玻尔半径。

【知识储备】

①定态薛定谔方程

②体系的总角动量满足角动量的一般对易关系

J(→)×J(→)＝iħJ(→)

分量形式

[J(∧)_x，J(∧)_y]＝iħJ(∧)_z；[J(∧)_y，J(∧)_z]＝iħJ(∧)_x；[J(∧)_z，J(∧)_x]＝iħJ(∧)_y

或统一写成

[J(∧)_i，J(∧)_j]＝iħε_ijkJ(∧)_k

其中的i，j，k分别表示x，y，z分量，如果i，j，k有两者或两者以上相同则ε_ijk为0，其他情况则为1或－1。

31粒子在势场中运动（），试求系统能级和能级方程。[中国科学院2007研]

【解题思路】

对于不随时间变化的势场，明显可以直接使用定态薛定谔方程求解本征波函数和本征能级，针对本题提供的δ势场，需要充分利用δ函数的性质。

【解析】

粒子在无限深δ势场中运动，由定态薛定谔方程可得

当x＞a或x＜－a时

当－a＜x＜a时

对两边在积分可得

①

当x≠0时

其中

求解可得

带入①可得，则B＝0，所以

因为

所以

即

【知识储备】

①定态薛定谔方程

②波函数必须满足的三个基本条件

有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；

单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；

连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。

32一维谐振子系统哈密顿量为，设受到微扰的作用，试求对第n个谐振子能级的一级微扰修正。[中国科学院2007研]

【解题思路】

对于一维谐振子模型，可以利用定态薛定谔方程求解其本征波函数和本征能级，在不随时间变化的微扰的作用下，可以直接代入定态非简并微扰理论求解修正能级，在计算的过程中，可以充分利用谐振子本征波函数的推导关系式和维里定理，这样可以简化计算。

【解析】

由定态薛定谔方程求解一维谐振子可得

本征波函数为

对于微扰有

根据定态微扰第n级的一级修正为

对于谐振子势场，由维里定理可得

由

可得

所以

【知识储备】

①一维线性谐振子

势能满足方程

本征值

振子的基态（n＝0）能量，零点能

本征函数

其中

常用公式总结：

②维里定理

粒子在r的n次方的势场中运动，则粒子的平均动能和平均势能满足关系式

③非简并定态微扰

微扰作用下的哈密顿量

H＝H₀＋H′

第n个能级的近似表示

波函数的近似表示

33两个自旋为的粒子，两个粒子分别为，，求系统处于单态和三重态的概率。[中国科学院2008研]

【解题思路】

对于两个自旋为的粒子，它们为费米子，可以通过它们各自的波函数，将其写为三重态和单态的形式，则可以显而易见的求解出分别在三重态和单态的几率。

【解析】

因为两个粒子分别为

则它们两个粒子系统的状态为

其中为单态，、为三重态。

因此，系统处于单态的概率为，系统处于单态和三重态的概率为。

【知识储备】

单态和三重态

若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χ_S和反对称自旋波函数χ_A，分别写为

其中，（）表示第1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。χ_A是两电子自旋反平行的态，总自旋为零，此态是单态；χ_S是三重简并的，被称为三重态。

34对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为，为参数，用变分法求基态能量和波函数，并与严格解比较。[复旦大学2001研]

【解题思路】

当外界扰动不能判断是否大小时，可以使用变分法，具体操作可以根据变分法程序化的步骤进行计算，最后得出结果，可以通过实验数据来判断变分法选取参数的优劣，在此基础上，可以通过调整参数来得到更加优化的解答。

【解析】

首先由波函数的归一化条件，得出试探波函数的归一化形式为

选择为参量。能量的平均值为

由可得。

所以基态波函数为

能量为

由薛定谔方程求解的一维谐振子的基态波函数和能量为

比较两种结果，它们相同。

【知识储备】

①变分法求体系基态能量方法总结

分析具体的物理问题和研究对象，在微扰法的适用条件不满足的情况下，可以选择变分法求解，步骤如下：

a．根据具体的物理系统和研究者的经验，选取含有参数λ的尝试波函数ψ（λ）；

b．计算H的平均能量H(—)（λ），它是变分参量λ的函数；

c．由极值条件求解λ数值；

d．带入H(—)（λ），求出H(—)（λ）的最小值，所求结果即为基态能量的上限。

②一维谐振子本征函数

其中

【拓展发散】

当在非简谐振子哈密顿量或者任何其它的哈密顿量时，都可以利用同样的变分法的操作方法进行计算，变分法对于扰动的大小和特性没有限制，因此变分法在很多定性问题方面有很广泛的应用。

35两个自旋为1/2的粒子组成的体系由哈密顿量描述，其中分别是两个粒子的自旋，是它们的z分量，A，B为常数，求该哈密顿量的所有能级。[复旦大学2004研]

【解题思路】

对于哈密顿量，选择恰当合适的共同本征态，利用自旋角动量的合成和总自旋角动量与各自分量的关系求解。

【解析】由两个自旋为1/2的粒子组成的体系，为总自旋，即

并且对应的z分量有

所以

即

因此哈密顿量可以改写为

根据自旋角动量的合成规则

则或者。

当时，；

当时，。

因此带入哈密顿量，可得所有能级为

或者

或者

【知识储备】

两个角动量合成

①耦合表象

a．力学量组相互对易，其共同本征矢构成正交归一系；

b．以此本征矢为基矢的表象称为耦合表象；

c．耦合表象的基矢记为，或简记为。

②无耦合表象

a．力学量组也相互对易，相应的表象称为无耦合表象；

b．无耦合表象的基矢为。

③需满足；。其中，j＝|j₁－j₂|，……，j₁＋j₂；m＝－j，－j＋1，……，j－1，j。

36有一个质量为m的粒子处在长度为a的一维无限深势阱中，，t＝0时粒子波函数，求：

（1）归一化常数A；

（2）粒子能量的平均值；

（3）t＝0时粒子能量的几率分布；

（4）任意t＞0时波函数的级数表达式。

[南京大学2001研]

【解题思路】

①由波函数的归一化公式即可求得A；

②对于力学量的平均值可以直接带入平均值公式求解；

③任意波函数都可以由某一个完备集展开，相应的能量的完备集也可以，对于求解某一个能级的几率分布，只需要对展开式中本征波函数的振幅平方即可；

④含时薛定谔方程可以求解t时刻波函数的具体形式。

【解析】

（1）由波函数的归一化

所以

（2）利用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱可得

本征波函数为

本征能量为

将用完备集展开可得

因此由傅里叶变化可得

所以粒子的平均能量为

（3）粒子的本征能量为的几率为

（4）粒子在任意时刻t的波函数为

【知识储备】

①波函数的归一化条件

②在某一表象下，算符F(∧)在ψ态中的平均值为

③设y₁、y₂、…、y_n、…是体系的可能状态，那么它们的归一化的线性叠加形式为c₁y₁＋c₂y₂＋…＋c_ny_n＋…，这也是微观粒子的可能状态。也可以说，当体系处于态y时，体系部分地处于态y₁、y₂、…、y_n、…中；相应的概率分别为|c₁|²，|c₂|²、…、|c_n|²，…。

④波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

37．氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处在室温，试粗略估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最大波长。（晶格常数1A）[南京大学2001研]

【解题思路】

本题把量子力学中的理论和实际的系统联系，这可以提高对量子力学的理解。

将氯化钠晶体中的空穴束缚电子看成三维无限深势阱模型，要求解电子可以吸收的最大波长的电磁波，根据波长和频率的关系，也就是要求频率最小，能级间能量差最小，显而易见，由无限深势阱的本征能量的形式，即可以求解基态和第一激发态的能量差。

【解析】设晶格常数为c，对于束缚在三维无限深势阱中的电子，由定态薛定谔方程可以求解本正能量为

因此，基态能量为

第一激发态的能量为

能使电子从基态跃迁到第一激发态的光子的频率为

相应的波长为

【知识储备】

①三维无限深方势阱

势能满足方程

则本征值

本征函数

②电子由能量为E_m的定态跃迁到能量为E_n的定态时所吸收或发射的辐射频率满足

【拓展发散】

将三维无限深势阱的模型变为三维谐振子的情形，来求解相应的吸收最大电磁波波长。

38请写出四位因对量子力学理论的贡献而获诺贝尔物理学奖的科学家，并简要介绍他们在量子力学建立过程中的贡献。[武汉大学2015研]

【解题思路】

在量子力学的学习过程中，对量子力学的发展史的了解是必要的，在了解这些历史的过程中，也可以加深对量子力学的理解。

【解析】

普朗克：引入量子的概念，提出的黑体辐射公式很好的解决了黑体辐射问题；

薛定谔：建立薛定谔波动方程；

海森堡：矩阵力学；

泡利：泡利不相容原理。

【拓展发散】

了解一些量子力学发展过程中重要的实验，比如戴维孙-革末（Davisson-Germer）实验、斯特恩-格拉赫（Stern-Gerlach）实验。

39一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数并给出能量简并度：

（1）转子绕一固定轴转动；

（2）转子绕一固定点转动。

[武汉大学2015研]

【解题思路】

对于定态问题，直接使用定态薛定谔方程，结合波函数满足的性质，就可以求解本征能量和波函数，根据本征值和波函数对应的数量关系就可以判断简并度的问题。

【解析】

（1）设固定轴沿z轴方向，选择球坐标系，则体系的哈密顿算符为

对应的定态薛定谔方程为

即

其中

m²＝2IE/（ħ²）

求解可得

f（φ）＝Ae^imφ

考虑到波函数的单值性，则

f（φ＋2π）＝f（φ）

即

e^{im（φ＋2π）}＝e^imφ

则

e^i2mπ＝1

从而得到

m＝0，±1，±2，…

因此，转子的定态能量

E_m＝m²ħ²/（2I）（m＝0，±1，±2，…）

利用归一化条件得

转子体系的波函数为

当m＝0时，能量非简并；

当m≠0时，＋/－m对应相同的能量，不同的波函数，则能量简并度为2。

（2）取固定点为坐标原点，转子的哈密顿算符为

H(∧)＝L(∧)²/（2I）

由定态薛定谔方程可得

即

L(∧)²Y（θ，φ）＝2IEY（θ，φ）

式中，Y（θ，φ）设为H(∧)的本征函数，E为其本征值。

令2IE＝λħ²，则有

L(∧)²Y（θ，φ）＝λħ²Y（θ，φ）

此即为角动量L(∧)²的本征方程，其本征值为

其本征函数为球谐函数

所以转子的定态能量为

对于任一个l，m的取值有2l＋1个，所以能量简并度为2l＋1。

【知识储备】

①定态薛定谔方程

②波函数必须满足的三个基本条件

有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；

单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；

连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。

40中心力场中高能散射振幅及微分截面。[复旦大学2012研]

【解题思路】

对于量子力学中散射问题，首先根据所给条件判断是高能散射还是低能散射，据此使用分波法或者玻恩近似。

【解析】

根据题意，直接使用玻恩近似

散射振幅为

相应的微分散射截面为

【知识储备】

①玻恩近似法

a．适用条件

（高能散射）

b．微分散射截面

其中，U（r）为粒子和散射中心相互作用的势能，K(→)＝k(→)′－k(→)，k(→)′，k(→)分别为粒子散射前后的波矢，并且，θ是散射角。

②分波法

微分散射截面

第l个分波的散射截面

总散射截面

适用范围：适用于低能散射情形，l≥ka的分波的散射截面可略去。

41概念证明：

（1）证明任意算符的平均值满足如下等式：

（2）若某哈密顿量H的所有本征态非简并，并且算符f满足，证明f和H可以同时对角化。

[华南理工大学2018研]

【解题思路】

①对力学量的平均值求时间的导数，可以利用含时薛定谔方程带入计算，由此就可以得出要证明的关系式；

②对于两个互相对易的力学量算符，有共同的本征态。

【解析】（1）因为

并且

所以

（2）设为H的本征函数，则

因为

所以

因此，m≠n时，，则f和H可以同时对角化。

【知识储备】

①含时薛定谔方程

②力学量的平均值公式

42设某二能级系统的能级分别为E₁、E₂（＞E₁），并有对应的两个无简并定态，在初始时刻系统处于基态，而后加入微扰作用V，试求以后任意时刻系统处于这两个定态的几率。[南京大学2014研]

【解题思路】

分析题意，这是含时微扰，直接利用含时微扰理论公式带入已知条件即可求解。

【解析】在二能级系统中，加入微扰，可以利用含时微扰理论得

体系在微扰作用下由初态f₁跃迁到终态f₂态的概率幅为

所以相应的跃迁几率为

因此，在t时刻，系统处在f₂态的几率为

系统处在f₁态的几率为

【知识储备】

含时微扰理论

含时微扰体系哈密顿量H(∧)（t）＝H(∧)₀＋H(∧)′（t），体系波函数ψ所满足的薛定谔方程为

将ψ按H(∧)₀的本征函数f_n展开得

则在t时刻发现体系处于f_m态的概率是|a_m（t）|²。若体系在t＝0时处于H(∧)₀的本征态f_k，则

体系在微扰作用下由初态f_k跃迁到终态f_m态的概率幅为

相应的跃迁概率为

其中

43试求屏蔽库仑场的微分散射截面。[浙江大学2014研]

【解题思路】

对于屏蔽库仑场，可以直接使用玻恩近似计算微分散射截面。

【解析】

由玻恩近似可得微分散射截面为

【知识储备】

玻恩近似法

①适用条件

（高能散射）

②微分散射截面

其中U（r）为粒子和散射中心相互作用的势能，K(→)＝k(→)′－k(→)，k(→)′，k(→)分别为粒子散射前后的波矢，并且，θ是散射角。

【拓展发散】

对于本题所给信息，也可以用分波法计算，并将计算结果与玻恩近似的结果比较。

44设算符A和B不对易，，但A和B都与C对易，即，，试证明：

（1），n为正整数；

（2）

[厦门大学2012研]

【解题思路】

根据所给条件，利用对易恒等式关系，推导出递推关系，即可得证。

【解析】

（1）因为

所以

（2）

【知识储备】

①e指数函数的展开式

②对易式中满足的基本恒等式

[A，B＋C]＝[A，B]＋[A，C]

[A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C

[AB，C]＝A[B，C]＋[A，C]B

[A，[B，C]]＋[B，[C，A]]＋[C，[A，B]]＝0

45粒子被束缚在半径为r的圆周上运动。

（1）设立路障进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，即

求解粒子的能量本征值和本征函数。

（2）设粒子处于情形（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少？

[南京大学2002研]

【解题思路】

分析题意，这是不随时间改变的势场，所以可以直接使用定态薛定谔方程和波函数性质求解能量本征值和本征波函数。

【解析】

（1）当时，；当时，粒子的转动惯量为，对应的哈密顿量为。

由定态薛定谔方程可得

即

令

求解得

由波函数的连续性可得，即，所以

，即，所以，因此

由波函数的归一化条件可得

（2）当撤去路障后，粒子的本征波函数和本征能量为

其中。

由本征波函数的完备性可得

由傅里叶变换可得

因此

所以粒子仍然处于最低能量态的几率是

【知识储备】

定态薛定谔方程

【拓展发散】

改变变化方式，缓慢撤去路障，求解粒子仍然处于最低能量态的几率，并且将结果和突然撤去路障的结果比较，区别这两种情形对量子态的影响。

46设算符，且。

证明：如果是的本征函数，对应的本征值为，则波函数也是N的本征函数，对应的本征值为；而也是N的本征函数，对应的本征值为。

[南京大学2002研]

【解题思路】

利用本征方程的定义，以及升降算符的对易关系。

【解析】

根据题意，N的本征方程为。因为，所以

即波函数是N的本征函数，对应的本征值为；

即波函数是N的本征函数，对应的本征值为。

【知识储备】

①本征方程

②升算符（也称产生算符）

降算符（也称湮灭算符）

粒子湮灭算符满足

粒子产生算符满足

47三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为，求其本征值和简并度。[北京大学2000研]

【解题思路】

分析哈密顿量的表达式，这是对称的形式，可以通过三个自旋算符的和式平方转化而得，如此则可以比较方便的求解。

【解析】

分析题意，哈密顿量为

这是对称的形式，所以

总自旋为

因此

所以哈密顿量为

明显可知哈密顿量的本征态为，本征值为

由角动量的合成可得，三个自旋为1/2的总自旋为1/2或者3/2。

所以

简并度为4；

简并度为4。

【知识储备】

S(⌒)在空间任意方向上的投影只能取两个数值，满足

记S²＝s（s＋1）ħ²，则s＝1/2，称s为自旋量子数。

【拓展发散】

三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为，利用同样的对称思想可以求其本征值和简并度。

48设有两个质量为m的一维全同粒子，它们之间的相互作用为（a＞0），

（1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动的基态能量和波函数；

（2）若粒子自旋为，写出它们的相对运动的基态及第一激发态能量和波函数。

[北京大学2001研]

【解题思路】

分析两个粒子的势能形式，与谐振子势相同，之后要考虑它们是全同粒子还是非全同粒子，根据它们对波函数的对称性要求，就可以通过构造波函数坐标部分和自旋部分各自的交换对称性来最终满足总波函数的对称性要求。

【解析】（1）对于两个粒子间的势场为，可以固定一个粒子，即令

其中，，。

若粒子自旋为0，总自旋s＝0，则基态能量为

对应的波函数为

（2）若粒子自旋为，则它们都是费米子，总波函数满足交换反对称性。

基态：

能量为

波函数为

第一激发态：

能量为

波函数为

或者

或者

【知识储备】

①谐振子势能满足方程

本征值

振子的基态（n＝0）能量，零点能

本征函数

其中

②自旋单态和三重态

若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χ_S和反对称自旋波函数χ_A，分别写为

49简答题：

（1）在中心力场中，粒子处于定态，轨道角动量是否有确定值？

（2）写出坐标的本征态在动量表象中的表示及动量的本征态在坐标表象中的表示。

（3）若在薛定谔绘景中，，试给出海森堡绘景中的。

[北京大学2001研]

【解题思路】

①理解中心力场的对称性和轨道角动量的表达式；

②熟练运用傅里叶变换，了解对自由粒子在动量表象和坐标表象中的不同表达形式；

③了解三种不同绘景，以及薛定谔绘景、海森堡绘景和相互作用绘景之间的相互转换。

【解析】

（1）不一定；

（2）坐标的本征态在动量表象中的表示为

动量的本征态在坐标表象中的表示为

（3）

50自旋1/2的粒子处于磁场B中，该粒子绕磁场进动的角频率记为ω＝γB。设t＝0时粒子处于自旋朝下态，求t时刻粒子仍处于该态的几率。[中国科学院2006研]

【解题思路】

①本题是典型的已知在一力场中运动的初始状态，要求解t时刻的波函数，从而了解粒子所处状态的几率问题；

②利用含时薛定谔方程来求解波函数，即

③对于自旋1/2的粒子处于磁场B中的哈密顿量为

.

【解析】

因为

所以

对于自旋1/2的粒子处于磁场B中的哈密顿量为

其中

因为

所以

因此

其中

所以

因此，可以从波函数得出t时刻粒子仍处于自旋向下态的几率为

【知识储备】

①波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U（r(→)，t）与t无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y（r(→)）满足定态薛定谔方程

此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为

一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。

②自旋算符

泡利算符σ(∧)满足下列关系：

在σ(∧)_z表象中，σ(∧)_x，σ(∧)_y，σ(∧)_z的表示矩阵分别为：

【拓展发散】

①粒子处于磁场B中初始状态的自旋为1/2和－1/2的叠加态，如，最后可以问粒子在t时刻处在自旋为1/2或者－1/2的几率；

②当粒子处于磁场B中初始状态的自旋为1/2，也可以问粒子在t时刻发生跃迁到自旋为－1/2的几率；

③类似于本题的粒子处在电磁场中的问题，也可以用来考查微扰的相关知识，比如定态非简并微扰和含时微扰，可用来解决跃迁等相关问题。

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