考研真题
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西南大学数学与统计学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题AI讲解
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2012年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题
2012年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解
2011年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题（部分）
2011年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题（部分）及详解
部分内容
2012年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题
2012年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解
参考答案
西南大学
2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：应用统计 研究方向：各方向
试题名称：统计学 试题编号：432
(答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效)
一、单项选择题(8小题，每小题5分，共40分)
1设事件A、B相互独立，且P(A)=0.1，P(B)=0.4，则
(
)．
（A）0.04，
（B）0.06，
（C）0.36，
（D）0.42，
【答案】B
【解析】事件A、B相互独立,
则有
2将三个球随机地放入4个杯子中去，杯子中球的最大个数是l的概率为( )．
【答案】C
【解析】杯子中球的最大个数是l，说明有一个杯子是空的，其他三个杯子各有一个球。三个球随机地放入4个杯子中去有
种放法，结果为杯子中球的最大个数是l有
种放法。则这种结果的概率
.
3以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计)，X的分布函数是
，则等待时间恰好3分钟的概率为( )．
（A）0，
（B）e-1.2，
（C）1-e-1.2，
（D）1．
【答案】C
【解析】
4将n只球(1～n号)随机地放进n只盒子(1～n号)中去，一只盒子装一只球。将一只
球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，则E(X)=(
)．
【答案】D
【解析】记事件
，每个盒子独立看能够配对的概率是
，则有
，得
5设
为二维随机变量，且
则下列等式成立的是(
)．
【答案】B
【解析】二维随机变量
，
的期望和方差具有以下几个性质：
①设
是常数，则
,
；
②设
是随机变量，
是常量，则有
,
；
③设
，
是随机变量，则有
,
；
④设
，
是两个不相关的随机变量，则
,
,
。
由性质2和3可得
。
6设
是总体
的样本，
未知，则统计量是(
)．
【答案】A
【解析】设
是从总体
中抽取的容量为
的一个样本，如果由此样本构造一个函数
，不依赖于任何未知参数，则称函数
是一个统计量。由此可知统计量是不含未知参数的样本函数，根据定义可知BCD三项都含未知参数
或
，所以都不是统计量。
7设
来自总体
，且相互独立，则随机变量
服从的分布是(
)．
【答案】D
【解析】设
是来自总体
的样本，则有
，
,
是相互独立的，则随机变量
8设总体
，
未知，
为样本，S2为修正样本方差，则检验
问题：
，
(
已知)的检验统计量为( )．
【答案】C
【解析】由于
已知，故方差检验所使用的是
统计量，这是因为
，其中
是指修正后的样本方差，是
的无偏估计，本题中进行的是双侧检验。
二、填空题(6小题，每小题5分，共30分)
1从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是
。
【解析】从五双不同鞋子中任取4只有
种取法。4只鞋子中没有配成一双有
种取法，则4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是P=
。
2设
,
,
,则
【解析】因为
,则
，又已知
，则
,而
.
3设
，则
．
【解析】在连续性随机变量中某一点处的概率为0，即
,
可知该正态分布关于
中心对称，则有
4对敌人防御地段进行l00次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是2，方差是l.69，则l00次轰炸中有187～213颗命中目标的概率0.6826
【解析】设第
次轰炸命中目标的炸弹数为
则100次轰炸命中目标的炸弹数
，且
，
，由中心极限定理可知，
,则有
5设总体
是来自X的样本。则
的联合概率密度为
。
【解析】由于总体
，则连续型随机变量
的概率密度为：
是来自
的样本，所以它们相互独立且同分布，则
的联合概率密度
6设样本
来自总体
，则
的置信度为
的置信区间为
．
【解析】
是
的无偏估计，且有
,则
，即
,则
的置信度为
的置信区间为：
。
三、简述题(共4小题，每小题5分，共20分)
1给出简单随机样本的概念。
答：
设
是具有分布函数
的随机变量，若
是具有同一分布函数
的、相互独立的随机变量，则称
为从分布函数
(或总体
、或总体
)得到的容量为
的简单随机样本，简称样本。它们的观察值
称为样本值，又称为
的
个独立的观察值。
简单随机样本的两个主要特点是①随机变量
之间是相互独立的；②随机变量
服从同样的分布，即有相同的概率密度函数（分布函数）。
2简述矩估计的一般步骤。
答：用样本矩作为总体矩的估计量，用样本矩的连续函数作为总体矩的连续函数的估计量，这种估计方法叫做矩估计法。
矩估计的一般步骤：
（1）设
是总体
的简单随机样本，已知
的分布函数
其中
是待估参数。
（2）设总体的
阶原点矩为
存在，则样本的
阶矩由大数定律可知，
以概率收敛到
，即用
估计
，令
，由此得到一个包含
个未知参数
的联立方程组。从中解得
即为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值。
3点估计的评价标准有哪些?
答：点估计的评价标准有：无偏性、有效性、相合性（一致性）、均方误差。
（1）无偏性
设
是总体
的一个样本，
是包含在总体
的分布中的待估参数，这里
是
的取值范围。若估计量
的数学期望
存在，且对于任意
有
，则称
是
的无偏估计量。
（2）有效性
设
与
都是
的无偏估计量，若对于任意
，有
且至少对于某一个
上式中的不等号成立，则称
较
有效。
（3）相合性（一致性）
设
为参数
的估计量，若对于任意
，当
时
以概率收敛于
，则称
为
的相合估计量。即，若对于任意
都满足：对于任意
，有
则称
是
的相合估计量。
关于一致性的两个常用结论：
①样本K阶矩是总体K阶矩的一致估计量。
②若
是
的无偏估计量，并且
，则
是
的一致估计量。
（4）均方误差
设
是
的一个估计（有偏的或无偏的），则称
为
的均方误差。均方误差较小意味着：
不仅方差较小，而且偏差
也小，所以均方误差是评价点估计的最一般的标准。
4构造置信区间的枢轴量法的具体步骤是什么?
答：构造置信区间的枢轴量法的具体步骤:
(1)从未知参数
的某个点估计
出发，构造
与
的一个函数
使得
的分布（在大样本场合，可以是
的渐近分布）已知，且与
无关。该函数通常称为枢轴量。
(2)适当选取两个常数
与
，使对给定的
有
.
(3)利用不等式运算，将不等式
进行等价变形，使得最后能得到形如
的不等式。即
此时参数
的置信度为
的置信区间为
。
四、解答题(共5小题，每小题10分，共50分)
1已知男人中有5％是色盲患者，女人中有0.25％是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少?
解：记事件
分别表示从男女人数相等的人群中随机地挑选一人为男性、女性，事件
为色盲者，则有
，
利用全概率公式可得：
利用贝叶斯公式可得：
则明此人是男性的概率是
。
2设
在
上服从均匀分布，试求方程
有实根的概率。
解：方程
有实根的充要条件是
，解得
，根据已知条件
在
上服从均匀分布，可知
的密度函数为：
可得
，说明方程
有实根的概率为
。
3设二维随机变量
的概率密度为
(1)试确定常数
.
解：
（1）
由于
得
。
(2)求边缘概率密度.
解：
4设
是总体
的一个样本，
为一相应的样本值。总体X的概率密度函数为
，
，求参数
的最大似然估计量和估计值。
解：构造似然函数：
对数似然函数：
令
，则
，
得到
的最大似然估计值为
相应的最大似然估计量为
。
五、证明题(10分)
设随机变量X和Y的联合分布为：
试证明X和Y不相关，但X和Y不相互独立的。
解：
为二维随机变量，
，
根据随机变量X和Y的联合分布表得：
，
，
，
，
则
，
的联合分布为：
|
|
|
|
|
|
|
 
|
，即有
,说明
与
不相关。
X与Y是不相关的，但是不一定是独立的，即独立是不相关的充分非必要条件。要证明X与Y是非独立的用反证法，举反例即可。
，
由此可知
和
是不相互独立的。
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