复旦大学720量子力学考研真题及辅导用书

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书籍目录

部分内容

第1章　波函数与Schrödinger方程

1.1　复习笔记

本章介绍了量子力学中最基本的波函数概念和表达形式，并且介绍了波函数的统计诠释和量子态的叠加原理，相应的引入描述量子态动力学过程的薛定谔方程，相比较于经典物理中的牛顿定律，在量子力学中，非相对论情况下的薛定谔方程同样占据了重要地位，对于有限几种可解模型，包括势阱、势垒和线性谐振子，以及氢原子情形，薛定谔方程可以求解出波函数和能级的具体形式，其结果可以完美解释物理实验中相关现象和数据，而对于不可精确求出解析解的模型，针对具体不同的模型，在物理背景的考虑下可以进行相应的近似处理，由薛定谔方程得出的近似解也可以比较满意地对实验现象和结果做出解释，后面的章节微扰理论部分会对近似求解详细阐述，在高等量子力学中，将会介绍相对论情形下的狄拉克方程。

一、波函数的统计诠释

1实物粒子的波动性

de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为

λ＝h/p，ν＝E/h

并称之为物质波（matter wave）。

2概率波，多粒子体系的波函数

Born提出的波函数的概率诠释：|ψ（r(→)）|²ΔxΔyΔz表征在r点处的体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率，根据波函数的统计诠释，要求波函数ψ（r）满足下列条件

这称为波函数的归一化（normalization）条件。

归一化条件就可以简单表示为

（ψ，ψ）＝1

3动量分布概率（三维情况下）

动量分布概率密度即|φ（p）|²。

4不确定性原理与不确定度关系

位置（坐标）和动量的不确定性关系

上式表明粒子处于任何量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，x和p是一对对偶量，同理，能量E和时间t也具有相同的关系式。

5力学量的平均值与算符的引进

p(∧)为动量算符，在坐标表象中其具体表达形式为

l(→)＝r(→)×p(∧)（角动量算符）

l是一个矢量算符，它的三个分量可以表示为

A(∧)是与力学量A相应的算符，其平均值为

如波函数未归一化，则

与经典Hamilton量H＝T＋V相应的算符表示为

其中，T为粒子的动能，V为粒子在势场中的势能。

6统计诠释对波函数提出的要求

根据统计诠释，对波函数ψ（r）的要求为

（1）|ψ（r）|²取有限值，即要求ψ（r）取有限值。

（2）波函数需要满足归一化条件（平方可积）

但概率描述中实质的问题是相对概率，因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数，比如平面波。

（3）|ψ（r）|²单值，但ψ（r）不一定取单值。

（4）波函数ψ（r）及其各阶微商的连续性（一般情形可以这样考虑，但遇到特殊情况要视具体的势能而定）。

7索末菲量子化条件的推广

8波粒二象性（见表1-1-1）

表1-1-1　波粒二象性相关概念

二、Schrödinger方程

1Schrödinger方程的引进

在势场V（r）中的粒子的波函数满足的微分方程，称为Schrödinger波动方程。

2Schrödinger方程的讨论

定域的概率守恒

对于一个粒子（非相对论情形）来说，在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变，即

　①

①式为概率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程相同。

3能量本征方程

假设势能V不显含t，则波函数可以写为

其中ψ_E（r）满足下列方程：

　②

在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的，这些E值称为体系的能量本征值（energy eigenvalue），而相应的解ψ（r）称为能量本征函数（energy eigen function），方程②就是势场V（r）中粒子的能量本征方程，也称为不含时（time-independent）Schrödinger方程。

不同的能量本征值相应的本征函数是正交归一化的（设E取离散值），即

Schrödinger方程的更普遍的表示是

　③

H(∧)是体系的Hamilton算符，当H(∧)不显含t时，体系的能量是守恒量，方程③可以分离变量，此时，不含时Schrödinger方程，即能量本征方程，为

H(∧)ψ＝Eψ

4定态与非定态

若在初始时刻（t＝0）体系处于某一个能量本征态ψ（r，0）＝ψ_E（r），则

　④

形式如式④的波函数所描述的态，称为定态（stationary

state），处于定态下的

粒子具有如下特征：

（1）粒子在空间的概率密度ρ（r）＝|ψ（r）|²以及概率流密度j显然不随时间改变

（2）任何（不显含t的）力学量的平均值不随时间改变。

（3）任何（不显含t的）力学量的测量概率分布也不随时间改变。

由若干个能量不同的本征态的叠加所形成的态，称为非定态（non

stationary state）。

5多粒子体系的Schrödinger方程

设体系由N个粒子组成，粒子质量分别为m_i（i＝1，2，3，…，N），体系的波函数表示为ψ（r₁，…，r_N，t），设第i个粒子受到的外势场为U_i（r_i），粒子之间相互作用为V（r₁，…，r_N，t），则Schrödinger方程表示为

其中

而不含时Schrödinger方程表示为

E为多粒子体系的本征能量。

三、量子态叠加原理

1量子态及其表象

当ψ（r）给定后，三维空间中一个粒子所有力学量的测值概率分布就确定了，从这个意义上来讲，ψ（r）完全描述了一个三维空间中粒子的量子态，所以波函数也称为态函数。

2量子态叠加原理，测量与波函数坍缩

（1）设体系处于ψ描述的态下，测量力学量A所得结果是一个确切值a₁（ψ₁也称为A的本征态，A的本征值为a₁），又假设在ψ₂态下，测量A得的结果是另一个确切值a₂（ψ₂也是A的一个本征态，本征值为a₂），则在ψ＝c₁ψ₁＋c₂ψ₂所描述的状态下，测量A所得结果，既可能为a₁，也可能为a₂（但不会是另外的值），而测得结果为a₁或a₂的相对概率是完全确定的，我们称ψ态是ψ₁态和ψ₂态的相干叠加态。

（2）按照von Neumann的看法，量子态坍缩（collapse）即在测量过程中，粒子的状态从叠加态坍缩成为某一能量本征态ψ₁态或者ψ₂态。

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