北京大学经济学综合考研真题及辅导用书

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书籍目录

部分内容

1．北京大学光华管理学院《经济学（微观经济学部分）》真题详解

（1）2017年北京大学光华管理学院《经济学（微观经济学部分）》考研真题及详解

1（15分）考虑下面三种情形，并分别作答：

（1）一个消费者消费牛肉（b）和胡萝卜（c），她的效用函数为U（b，c）＝b^0.5c^0.5，她对于两种商品的初始禀赋为2公斤牛肉和3公斤胡萝卜，她可以在市场上出售自己的禀赋，请问是否存在一组市场价格使她愿意直接消费自己的禀赋。

（2）一个消费者消费饮料（b）和薯片（c），他的效用函数为U（b，c）＝min{b，c}，他对于两种商品的初试禀赋为2公斤薯片和3升饮料，他可以在市场上出售自己的禀赋。请问是否存在一组市场价格使他愿意直接消费自己的禀赋。

（3）护林员甲住在祁连山深处，他消费两种产品，汽油和牛肉面。由于他的住处距离最近的牛肉面馆30公里，去吃面要开车前往，他每天必须先消费6升汽油，余下的钱全部用于购买牛肉面。请问他的偏好可以用无差异曲线描述吗？如果可以，请画图。

解：（1）设牛肉（b）和胡萝卜（c）的市场价格分别是P_b，P_c。只要b＝2，c＝3满足MU_b/MU_c＝P_b/P_c，消费者就愿意直接消费自己的禀赋。

代入MU_b＝0.5b^－0.5c^0.5，MU_c＝0.5b^0.5c^－0.5，b＝2，c＝3，得P_b/P_c＝1.5。

即只要市场价格满足牛肉价格是胡萝卜价格的1.5倍，消费者就愿意直接消费自己的禀赋。

（2）设饮料（b）和薯片（c）的市场价格分别是P_b，P_c。根据效用函数U（b，c）＝min{b，c}，他的效用最大化原则是U＝b＝c，而初始禀赋是b＝3，c＝2，b≠c，所以不存在一组市场价格使他愿意直接消费自己的禀赋。

（3）如图1所示，向右下方倾斜的曲线即为表示该护林员偏好的无差异曲线。由题意可知，护林员的偏好是拟线性偏好，汽油具有“零收入效应”，护林员对汽油的消费始终为6，所有增加的收入都用于消费牛肉面。

图1　无差异曲线

2（15分）一个农民有10000元资金，年初他可以用来购买水稻种子（s）以及保险（i）。如果该年天气好，他可以消费水稻种植的产出，产出的大米量（公斤）为y＝10s^0.5；如果天气不好则水稻绝收，他的消费完全来自保险公司的理赔，保险公司就每份保险赔付给他一公斤大米。天气好的概率为π＝0.8，种子价格（p）为每公斤1元，保险价格（q）为2元一份。

（1）假设农民效用函数为U＝πlnC₁＋（1－π）lnC₂，C₁和C₂分别是天气好和天气不好时的大米消费量。请问他会买多少公斤种子，多少份保险？

（2）假设农民的效用函数为U（b，c）＝min{lnC₁，lnC₂}，请问他会买多少公斤种子？

解：由题意知，预算约束为s＋2i＝10000，C₁＝10s^0.5＝10（10000－2i）^0.5，C₂＝i。

（1）农民效用函数为U＝πlnC₁＋（1－π）lnC₂＝0.8ln[10（10000－2i）^0.5]＋0.2lni；

其一阶条件为：dU/di＝－0.8/（10000－2i）＋0.2/i＝0；

解得：i＝5000/3，则s＝10000－2i＝20000/3。

即他会买20000/3公斤种子，5000/3份保险。

（2）由农民的效用函数U（b，c）＝min{lnC₁，lnC₂}可知，其效用最大化原则是lnC₁＝lnC₂，即C₁＝10（10000－2i）^0.5＝C₂＝i，解得：i＝100×101^0.5－100≈905，则s＝8190。

即他会买8190公斤种子，905份保险。

3（15分）假设城市W由两座电厂（A和B）提供电力。A和B均是热力电厂，燃烧煤炭供电的同时会排放空气污染物。为改善空气质量，W市决定要求A和B电厂减排。A电厂减少排放x_A万吨污染物的总成本为c_A（x_A）＝3x_A²。B电厂减少排放x_B万吨污染物的总成本为c_B（x_B）＝5x_B²＋10x_B。W市政府聘请环保专家评估减少污染物排放将会给W市带来的收益。经测算，如果A和B分别减排x_A和x_B万吨，W市获得的总收益为：120（x_A＋x_B）。请依据以上信息回答下列问题：

（1）请计算A和B的社会最优减排量。

（2）W市政府希望通过征收“排污税”降低A和B的污染物排放量。

a．请问W市政府需对每万吨污染物征收多少“排污税”才能使A和B分别达到第（1）题中的减排量？

b．W市征收如上“排污税”的情形下，请用等式列出A和B电厂各自决定减排量所面对的最优化问题。并证明A和B的各自选择的最优减排量与第（1）题中的社会最优减排量相同。

（3）假设W市决定停止征收“排污税”，并出台相关规定强制要求电厂减少污染物排放量。有建议称W市政府要求A和B电厂每年分别减排1万吨污染物。请通过数学推导与文字说明论证这个建议并不是最有效率的。

解：（1）由题意得，A和B减排的边际收益为：MR_A＝MR_B＝120，A和B减排的边际成本分别为：MC_A＝6x_A，MC_B＝10x_B＋10。

解MR_A＝MC_A和MR_B＝MC_B，得：x_A＝20，x_B＝11。

即A和B的社会最优减排量分别是20万吨和11万吨。

（2）a．设W市政府需对每万吨污染物征收t单位的“排污税”t单位。

对A和B而言，当污染的边际成本t小于减排的边际成本MC_A和MC_B时，它们会决定排污；当污染的边际成本t大于减排的边际成本MC_A和MC_B时，它们会决定减排。即t＝MC_A和t＝MC_B决定了A和B的污染物排放量。

由（1）可知MC_A＝6x_A，MC_B＝10x_B＋10，且社会最优排放量为x_A＝20，x_B＝11，因此t＝120。

即W市政府需对每万吨污染物征收120单位的“排污税”才能使A和B分别达到第（1）题中的减排量。

b．在W市政府对每万吨污染物征收120单位的“排污税”的情形下，A和B每减少排放1万吨污染物，就可以少缴税120单位，相当于获得收益120单位。因此，A和B面对的最优化问题分别是：max120x_A－3x_A²和max120x_B－（5x_B²＋10x_B）。

易解得：x_A＝20，x_B＝11。即A和B的各自选择的最优减排量与第（1）题中的社会最优减排量相同，得证。

（3）若W市政府要求A和B电厂每年分别减排1万吨污染物，W市获得的总收益为：120（x_A＋x_B）＝240，A电厂减排成本为：c_A（x_A）＝3x_A²＝3，B电厂减排成本为：c_B（x_B）＝5x_B²＋10x_B＝15。此时减排收益远远高于减排成本。

若政府要求的A和B电厂每年实现的减排量分别再增加1万吨，即A和B电厂每年分别减排2万吨污染物，则W市获得的总收益增加120×（2＋2）－240＝240，A电厂减排成本增加3×2²－3＝9，B电厂减排成本增加5×2²＋10×2－15＝25，也就是增加减排量所获收益远大于所增成本，政府要求的减排量过低，政府应当增加要求的减排量。

即这个建议并不是最有效率的。

4（30分）公司1和公司2生产相同的产品，而且成本为0。两个公司同时选择生产数量，分别满足q₁≥0和q₂≥0。与之相对应的需求函数为P（q）＝12－q，其中q＝q₁＋q₂。

（1）找出本博弈的纳什均衡（q₁，q₂），以及纳什均衡下两个公司的利润。

（2）假定公司2被迫生产q₂＝0，而公司1是一个垄断经营者，面对的需求函数为P（q）＝12－q且成本为0。公司1的利润是多少？

（3）现在假定这个博弈过程有三个阶段。

第一阶段：公司1选择是否给公司2一笔贿赂，让公司2不参与竞争。

第二阶段：公司2决定是否接受公司1的贿赂并不参加市场竞争。

第三阶段a：如果公司2接受了公司1的贿赂，那么公司1就是这个市场上的垄断经营者。公司1的成本依然为0，面对的需求函数是P（q）＝12－q。因此公司1会获得垄断者的利润，而公司2获得这笔贿赂。

第三阶段b：如果公司2拒绝了这笔贿赂，那么两个公司会进行第（1）问中所描述的生产博弈，他们的利润也如第（1）问中所计算。

请找出这一新规则下的子博弈完美均衡（subgame perfect equilibrium）策略。在这一子博弈完美均衡下，公司1和公司2的利润分别是多少？

（4）现在假定有一个新的公司3加入这个市场，公司3的产量为q₃≥0，单位成本为2。与之相对应的需求函数是P（q）＝12－q，其中q＝q₁＋q₂＋q₃。找出本博弈的纳什均衡（q₁，q₂，q₃），以及纳什均衡下三个公司的利润。

（5）现在假定这个博弈过程有三个阶段。

第一阶段：公司1选择是否给公司3一笔贿赂，让公司3不参与竞争。

第二阶段：公司3决定是否接受公司1的贿赂并不参加市场竞争。

第三阶段a：如果公司3接受了公司1的贿赂，那么公司1和公司2就继续第（3）问中所描述的博弈。

第三阶段b：如果公司3拒绝了这笔贿赂，那么三个公司会进行第（4）问中所描述的生产博弈，他们的利润也如第（4）问中所计算。

请找出这一新规则下的子博弈完美均衡（subgame perfect equilibrium）策略。在这一子博弈完美均衡下，公司1，公司2以及公司3的利润分别是多少？

解：（1）两个公司同时选择生产数量时，博弈的纳什均衡（q₁，q₂）就是古诺均衡解。

因为公司1和公司2生产相同的产品，而且成本为0，所以古诺均衡解满足q₁＝q₂。

公司1的利润函数为：π₁＝Pq₁＝（12－q₁－q₂）q₁；

其一阶条件为：dπ₁/dq₁＝12－2q₁－q₂＝0；

代入q₁＝q₂，解得q₁＝4，则q₂＝4，P＝4，π₁＝16。

即本博弈的纳什均衡是（4，4），纳什均衡下两个公司的利润均为16。

（2）公司1的利润函数为：π₁＝Pq₁＝（12－q₁）q₁；

其一阶条件为：dπ₁/dq₁＝12－2q₁＝0；

解得q₁＝6，则P＝6，π₁＝36。

即公司1的利润是36。

（3）设贿赂额为t。由（1）（2）可得该博弈的扩展式如图2所示。因而在不同的贿赂额取值下，该博弈结果不同。

①当t＜16时，36－t＞20＞16，当公司1贿赂时，公司2不接受贿赂，若公司1已知公司2不接受贿赂，公司1贿赂与不贿赂都有可能。此时该博弈没有子博弈完美均衡。

②当t＝16时，36－t＝20＞16，当公司1贿赂时，公司2接受与不接受贿赂都有可能。此时该博弈没有子博弈完美均衡。

③当16＜t＜20时，16＜36－t＜20，当公司1贿赂时，公司2接受贿赂，若公司1已知公司2接受贿赂，公司1贿赂。此时该博弈的子博弈完美均衡是（贿赂，接受）。

④当t＝20时，36－t＝16，当公司1贿赂时，公司2接受贿赂，若公司1已知公司2接受贿赂，公司1贿赂与不贿赂都有可能。此时该博弈没有子博弈完美均衡。

⑤当t＞20时，36－t＜16，当公司1贿赂时，公司2接受贿赂，若公司1已知公司2接受贿赂，公司1不贿赂，而公司1不贿赂时，结果唯一。此时该博弈的子博弈完美均衡是公司1不贿赂。

综上所述，只有当贿赂额t满足16＜t＜20和t＞20时，该博弈才有子博弈完美均衡。当16＜t＜20时，该博弈的子博弈完美均衡是：公司1贿赂，公司2接受贿赂，此时公司1利润为36－t，公司2利润为t；当t＞20时，该博弈的子博弈完美均衡是公司1不贿赂，此时公司1和公司2利润均为16。

图2　（3）规则下的博弈扩展式

（4）三个公司同时选择生产数量时，博弈的纳什均衡（q₁，q₂，q₃）就是古诺均衡解。

公司1的利润函数为：π₁＝Pq₁＝（12－q₁－q₂－q₃）q₁；

其一阶条件为：dπ₁/dq₁＝12－2q₁－q₂－q₃＝0，这就是企业1的反应函数。

公司2的利润函数为：π₂＝Pq₂＝（12－q₁－q₂－q₃）q₂；

其一阶条件为：dπ₂/dq₂＝12－q₁－2q₂－q₃＝0，这就是企业2的反应函数。

公司3的利润函数为：π₃＝（P－2）q₃＝（10－q₁－q₂－q₃）q₃；

其一阶条件为：dπ₃/dq₃＝10－q₁－q₂－2q₃＝0，这就是企业3的反应函数。

联立三个反应函数，解得：q₁＝3.5，q₂＝3.5，q₃＝1.5，则P＝3.5，π₁＝12.25，π₂＝12.25，π₃＝2.25。

即本博弈的纳什均衡是（3.5，3.5，1.5），纳什均衡下三个公司的利润分别是12.25，12.25，2.25。

（5）设公司1对公司2的贿赂额为t，对公司3的贿赂额为h。由（1）（2）（3）（4）可得该博弈的扩展式如图3所示。因而在不同的贿赂额取值下，该博弈结果不同。

由（3）可知，第三阶段公司1与公司2的纳什均衡有两个：当16＜t＜20时，公司1贿赂公司2，公司2接受贿赂；当t＞20时，公司1不贿赂公司2。

当16＜t＜20时：

①当h＜2.25时，当公司1贿赂公司3时，公司3不接受贿赂，若公司1已知公司3不接受贿赂，公司1贿赂与不贿赂都有可能。此时该博弈没有子博弈完美均衡。

②当h＝2.25时，当公司1贿赂公司3时，公司3接受与不接受贿赂都有可能。此时该博弈没有子博弈完美均衡。

③当h＞2.25时，h＋t＞18.25，36－h－t＜17.75，36－h－t与12.25孰大孰小无法确定。故此时只能确定当公司1贿赂公司3时，公司3接受贿赂，而不能确定若公司1已知公司3接受贿赂，公司1是否贿赂公司3。

进一步讨论：

a．当h＋t＜23.75，36－h－t＞12.25，若公司1已知公司3接受贿赂，公司1贿赂公司3。此时该博弈的子博弈完美均衡是：公司1贿赂公司3和公司2，公司3和公司2均接受贿赂。此时公司1利润为36－h－t，公司2利润为t，公司3的利润是h。

b．当h＋t＞23.75时，36－h－t＜12.25，若公司1已知公司3接受贿赂，公司1不贿赂公司3。此时结果唯一。此时该博弈的子博弈完美均衡是：公司1不贿赂公司3。此时公司1利润为12.25，公司2利润为12.25，公司3的利润是2.25。

当t＞20时：

①同上，当h＜2.25和h＝2.25时，该博弈没有子博弈完美均衡。

②当h＞2.25时，16－h＜13.75，16－h与12.25孰大孰小无法确定。故此时只能确定当公司1贿赂公司3时，公司3接受贿赂，而不能确定若公司1已知公司3接受贿赂，公司1是否贿赂公司3。

进一步讨论：

a．当2.25＜h＜3.75时，12.25＜16－h＜13.75。若公司1已知公司3接受贿赂，公司1贿赂公司3。此时该博弈的子博弈完美均衡是：公司1贿赂公司3，不贿赂公司2，公司3接受贿赂。此时公司1利润为16－h，公司2利润为16，公司3的利润是h。

b．当h＞3.75时，16－h＜12.25，若公司1已知公司3接受贿赂，公司1不贿赂公司3。此时结果唯一。此时该博弈的子博弈完美均衡是：公司1不贿赂公司3。此时公司1利润为12.25，公司2利润为12.25，公司3的利润是2.25。

图3　（5）规则下的博弈扩展式

综上所述，该博弈有以下三个子博弈完美均衡：

①当16＜t＜20，h＞2.25，且h＋t＜23.75时，该博弈的子博弈完美均衡是：公司1贿赂公司3和公司2，公司3和公司2均接受贿赂。此时公司1利润为36－h－t，公司2利润为t，公司3的利润是h。

②当t＞20，且2.25＜h＜3.75时，该博弈的子博弈完美均衡是：公司1贿赂公司3，不贿赂公司2，公司3接受贿赂。此时公司1利润为16－h，公司2利润为16，公司3的利润是h。

③当16＜t＜20，h＞2.25，且h＋t＞23.75时，或者是，当t＞20，h＞3.75时，该博弈的子博弈完美均衡是：公司1不贿赂公司3。此时公司1利润为12.25，公司2利润为12.25，公司3的利润是2.25。

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