2.1 试求图2-2-1所示的各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作轴力图。
图2-2-1（a）
图2-2-1（b）
图2-2-1（c）
解：由截面法求得各截面上的轴力。由受拉为正，受压为负可得：
（a）FN1＝50kN，FN2＝10kN，FN3＝－20kN；
（b）FN1＝F，FN2＝0，FN3＝F；
（c）FN1＝0，FN2＝4F，FN3＝3F。
对应的轴力图如图2-2-2所示。
图2-2-2（a）
图2-2-2（b）
图2-2-2（c）
2.2 作用于图2-2-3所示零件上的拉力F＝38kN，试问零件内最大拉应力发生于哪个截面上？并求其值。
图2-2-3
解：由拉应力计算公式σ＝F/A可知，轴力一定时，最大拉应力发生在横截面积最小截面上，如图2-2-4所示。
图2-2-4
1-1截面的面积：A1＝（50－22）×20mm2＝560mm2
2-2截面的面积：A2＝（15＋15）×（50－22）mm2＝840mm2
比较可知，最大拉应力发生在1-1截面，且σmax＝F/A1＝38×103/（560×10－6）Pa＝67.86MPa。
2.3 在图2-2-1（c），若1-1、2-2、3-3三个横截面的直径分别为：d1＝15mm，d2＝20mm，d3＝24mm，F＝8kN，试用图线表示横截面上的应力沿轴线的变化情况。
解：由题2.1可知，三截面上的轴力分别为：FN1＝0，FN2＝4F，FN3＝3F。
则三个截面上的应力分别为
σ1＝FN1/A1＝0
故横截面上应力沿轴线分布如图2-2-5所示。
图2-2-5
2.4 在图2-2-6所示结构中，若钢拉杆BC的横截面直径为10mm，试求拉杆横截面上的应力。设由BC连接的1和2两部分均为刚体。
图2-2-6
解：将结构在节点A处断开，分别对两部分进行受力分析，如图2-2-7所示。
图2-2-7
根据平衡条件可得
∑MD＝0，FN×1.5＋FA×4.5－F×3＝0
∑ME＝0，FA×1.5－FN×0.75＝0
则BC杆的轴力为：FN＝6kN。
故拉杆BC的应力为：
2.5 图2-2-8所示结构中，设两根横梁皆为刚体。1，2两杆的横截面直径分别为10mm和20mm。试求两杆横截面上的应力。
图2-2-8
解：对刚性横梁AB进行受力分析，如图2-2-9所示。
图2-2-9
静力平衡方程
∑Fy＝0，FN2－FN1－10kN＝0
∑Mc＝0，FN1·1m－10kN·1m＝0
解得：FN1＝10kN，FN1＝20kN。
故1、2两杆的应力分别为
2.6 直径为10mm的圆杆，在拉力F＝10kN的作用下，试求斜截面上的最大切应力，并求与横截面夹角为α＝30°的斜截面上正应力及切应力。
解：由轴向拉压变形杆中斜截面的应力计算公式σα＝FNcos2α/A，τα＝FNsin2α/（2A）可知，在α＝45°时，杆内该斜截面上的切应力达到最大值为
且α＝30°的斜截面上的应力为
2.7 如图2-2-10所示，油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D＝350mm，油压p＝1MPa。若螺栓材料的许用应力[σ]＝40MPa，试确定螺栓的内径。
图2-2-10
解：对油缸盖进行受力分析。
假设每个螺栓平均受力，则由平衡条件可得6个螺栓所承受的总的轴力为
F＝pA＝p×πD2/4＝6FN
其中，每个螺栓受到的轴向力为：FN＝pπD2/24。
由强度条件可得
即有螺栓内径满足
2.8 汽车离合器踏板如图2-2-11所示。已知踏板受到压力F1＝400N作用，拉杆1的直径d＝9mm，杠杆臂长L＝330mm，l＝56mm，若拉杆的许用应力[σ]＝50MPa，试校核拉杆1的强度。
图2-2-11
解：如图2-2-11所示，由平衡条件可得
∑MO＝0，F1L－F2l＝0
则拉杆1的轴力为
FN＝F2＝F1L/l＝400×0.33/0.056N＝2357N
拉杆1的工作应力为
故拉杆1满足强度要求。
2.9 冷辙机的曲柄滑块机构如图2-2-12所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的镦压力F＝1100kN。连杆是矩形截面，高度h与宽度b之比为h/b＝1.4。材料为45钢，许用应力[σ]＝58MPa，试确定截面尺寸h及b。
图2-2-12
解：根据正应力强度条件，连杆接近水平位置时，有
σ＝F/A＝F/（bh）≤[σ]
其中，h/b＝1.4。
则有：
可得：h＝1.4b≥1.4×116＝162mm。
因此，截面尺寸满足：b≥116mm，h≥162mm。
2.10 图2-2-13所示的双杠杆夹紧机构，需产生一对20kN的夹紧力，已知该三杆的材料相同，[σ]＝100MPa，α＝30°。试求水平杆AB及两斜杆BC和BD的横截面直径。
图2-2-13
解：杆AB、杆BC、杆BD均为二力杆。
如图2-2-14（a）所示，以CE杆为研究对象。
图2-2-14（a）
由平衡条件得：FNBClcosα－FEl＝0。
则BC杆轴力：FNBC＝FE/cosα＝20kN/cos30°＝23.1kN。
根据BC杆强度条件：σBC＝FNBC/ABC＝4FNBC/（πdBC2）≤[σ]。
可得BC杆直径：
由结构对称性可知，BD杆直径满足：dBD≥17.2mm。
如图2-2-14（b）所示，对节点B进行受力分析。
图2-2-14（b）
由平衡条件得：FNAB＝FNBC＝23.1kN。
同理，根据AB杆强度条件可得该杆直径满足：dAB≥17.2mm。
2.11 如图2-2-15所示，卧式拉床的油缸内径D＝186mm，活塞杆直径d1＝65mm，材料为20Cr并经过热处理，[σ]杆＝130MPa。缸盖由6个M20的螺栓与缸体连接，M20螺栓的内径d＝17.3mm，材料为35钢，经热处理后[σ]螺＝110MPa。试按活塞杆和螺栓强度确定最大油压p。
图2-2-15
解：（1）按活塞杆强度要求确定最大油压
分析活塞杆受力可得其在油压力作用下的轴力为：F1＝p·π（D2－d12）/4。
由活塞杆强度条件：σ1＝F1/A杆＝p1（D2－d12）/d12≤[σ]杆。
可得油压满足：
（2）根据螺栓强度要求确定油压
对缸盖进行受力分析，由平衡条件6F2＝p·π（D2－d12）/4得每个螺栓承受的轴力为
F2＝p·π（D2－d12）/24
由螺栓的强度条件：σ2＝F2/A螺＝p2（D2－d12）/6d2≤[σ]螺。
可得油压满足：
综上，取较小值，最大油压为：pmax＝6.5MPa。
2.12 在图2-2-16所示简易吊车中，BC为钢杆，AB为木杆。木杆AB的横截面面积A1＝10000mm2时，许用应力[σ]1＝7MPa；钢杆BC的横截面面积A2＝600mm2，许用拉应力[σ]2＝160MPa。试求许可吊重F。
图2-2-16
图2-2-17
解：分析节点B处受力，如图2-2-17所示，由平衡条件
∑Fx＝0，FN1－FN2cos30°＝0
∑Fy＝0，FN2sin30°－F＝0
可得两杆轴力：
FN2＝2F。
（1）按木杆的强度要求确定许可吊重
由木杆强度条件σ1＝FN1/A1≤[σ]1，可得
（2）按钢杆的强度要求确定许可吊重
由钢杆强度条件σ2＝FN2/A2≤[σ]2，可得F≤[σ]2A2/2＝（1/2）×600×160N＝48kN。
综上，取较小值，许可吊重[F]＝40.4kN。
2.13 某拉伸试验机的结构示意图如图2-2-18所示。设试验机的CD杆与试件AB的材料同为低碳钢，其σp＝200MPa，σs＝240MPa，σb＝400MPa。试验机最大拉力为100kN。
（1）用这一试验机作拉断试验时，试样直径最大可达多大？
（2）若设计时取试验机的安全因数n＝2，则CD杆的横截面面积为多少？
（3）若试样直径d＝10mm，今欲测弹性模量E，则所加载荷最大不能超过多少？
图2-2-18
解：（1）利用塑性材料拉断条件，材料被拉断的最小应力为
则试件的直径
（2）CD杆的强度条件：σ＝F/A≤[σ]＝σs/n。
则杆的横截面面积为：A≥nF/σs＝2×100×103/（240×106）m2＝833mm2。
（3）测弹性模量时，试件的最大应力不应超过其弹性极限σp，即
解得：F≤σpπd2/4＝[200×106×（π/4）×0.012]N＝15.7kN。
2.14 某铣床工作台进给油缸如图2-2-19所示，缸内工作油压p＝2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm。已知活塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试校核活塞杆的强度。
图2-2-19
解：分析活塞杆受力可得，其在油压力作用下活塞杆的轴力为
F＝p（π/4）（D2－d2）
则活塞杆的工作应力为
所以活塞杆满足强度要求。
2.15 图2-2-20所示的拉杆沿斜截面m-m由两部分胶合而成。设在胶合面上许用拉应力[σ]＝100MPa，许用切应力[τ]＝50MPa。并设杆件的拉力由胶合面的强度控制。试问：为使杆件承受最大拉力F，α角的值应为多少？若杆件横截面面积为400mm2，并规定α≤60°，试确定许可载荷F。
图2-2-20
解：当正应力和切应力同时达到各自的许用应力时，拉力F达到最大值，并由直杆轴向拉伸时斜截面上的应力公式可得
σα＝Fcos2α/A＝[σ]，τα＝Fsinαcosα/A＝[τ]
联立以上二式，可得：tanα＝[τ]/[σ]＝50/100＝0.5，即α＝26.6°。
故此时杆件可承受拉力最大，值为
Fmax＝A[σ]/cos2α＝400×100/cos226.6°N＝50kN
2.16 在压力F作用下的杆件如图2-2-21（a）所示，如再考虑其自重影响，并要求任一横截面的应力皆等于许用应力[σ]。试确定横截面面积沿轴线的变化规律，并计算杆件变形。设材料的密度为ρ。
图2-2-21（a）
解：如图2-2-21（a）所示，由平衡方程∑Fx＝0，有
[σ]A（x）＋ρgA（x）dx－[σ][A（x）＋dA（x）]＝0
得出
等号两边积分
lnA（x）＝ρgx/[σ]＋C①
确定积分常数的边界条件是，当x＝0时，A（x）＝A0＝F/[σ]②
把以上边界条件代入式①，得C＝lnA0。
这样，式①化为
③
这就是A（x）沿轴线的变化规律。
因为等强度杆在任一横截面上的应力都等于常量，则有
|ε|＝[σ]/E＝常量
于是整个杆件的总变形是
|Δl|＝|εl|＝－[σ]l/E
实际中，式③所示的形状加工时非常困难的。所以工程上通常采用阶梯形杆或锥台形杆，如图2-2-21（b）（c）所示。
图2-2-21（b）
图2-2-21（c）
2.17 在图2-2-22所示杆系中，BC和BD两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力也相同，同为[σ]。为使杆系使用的材料最省，试求夹角θ的值。
图2-2-22
图2-2-23
解：如图2-2-23所示，对节点B进行受力分析，根据平衡条件
∑Fx＝0，FN2cosθ＋FN1＝0
∑Fy＝0，FN2sinθ－F＝0
可得两杆轴力：FN1＝－Fcotθ（压力），FN2＝F/sinθ（拉力）。
由两杆的强度条件：σ1＝FN1/A1≤[σ]，σ2＝FN2/A2≤[σ]。
可知两杆同时达到许用应力时的横截面面积最为合理，即
A1≥（Fcotθ）/[σ]，A2≥F/（[σ]sinθ）
此时结构的体积
令dV/dθ＝0，可得体积最小时两杆的夹角满足：tan2θ＝2。
即
2.18 阶梯形直杆如图2-2-24所示。已知：A1＝800mm2，A2＝400mm2，E＝200GPa。求杆的总伸长Δl。
图2-2-24
解：由截面法可得杆各段轴力：FN1＝－20kN，FN2＝40kN。
由胡克定律可得杆的总伸长
2.19 为了改进万吨水压机的设计，在四根立柱的小型水压机上进行模型实验，测得立柱的总伸长Δl＝0.4mm。立柱直径d＝80mm，长度l＝1350mm。材料的E＝210GPa。问每一立柱受到的轴向力有多大？水压机的中心载荷F等于多少？
解：由题意可知，四根立柱平均承担水压机的中心载荷，并产生相同的变形量。
由拉压胡克定律Δl＝FNl/（EA），可得每个立柱受到的轴向力为
则水压机的中心载荷为：F＝4FN＝4×312.8kN＝1251.2kN。
2.20 如图2-2-25所示，设CG为刚体（即CG的弯曲变形可以忽略），BC为铜杆，DG为钢杆，两杆的横截面面积分别为A1和A2，弹性模量分别为E1和E2。如要求CG始终保持水平位置，试求力的作用位置x。
图2-2-25
解：对CG杆进行受力分析，如图2-2-26所示。
图2-2-26
根据平衡条件：∑Mc＝0，F2l－Fx＝0，∑Fy＝0，F1＋F2－F＝0。
可得两杆的轴力：F1＝F（l－x）/l，F2＝xF/l。
则由胡可定律可得两杆伸长量
要使得CG杆保持水平，应有协调条件：Δl1＝Δl2，即
解得：
*2.21 如图2-2-27所示，BC、BD两杆原在水平位置。在F力作用下，两杆发生变形，在B点的竖直位移为Δ。若两杆的抗拉刚度同为EA，试求Δ与F的关系。（提示：计算时应考虑BC和BD的角度变化，即变形后两杆不再保持水平。）
图2-2-27
图2-2-28
解：对节点B进行受力分析，如图2-2-28所示，根据平衡条件
∑Fx＝0，FN2cosα－FN1cosα＝0
∑Fy＝0，（FN1＋FN2）sinα－F＝0
可得两杆轴力：FN1＝FN2＝F/（2sinα）。
变形后，由于α角度非常小，近似有
sinα＝Δ/（l＋Δl）＝tanα＝Δ/l
其中由胡克定律可知杆的变形
①
又由几何关系可得
②
联立式①②可得：Δ3＝Fl3/（EA）。
即载荷F和位移Δ之间的关系：
2.22 如图2-2-29所示，像矿山升降机钢缆这类很长的拉杆，分析强度和变形时应考虑其自重的影响。设材料的密度为ρ，许用应力为[σ]。钢缆下端所受拉为F，钢缆截面不变。试求钢缆的允许长度及其总伸长。
图2-2-29
解：建立如图2-2-29所示坐标系，并取x截面以下部分进行受力分析。
钢缆x截面的轴力：FN（x）＝F＋ρgAx。
由此可知最大轴力发生在固定端截面，其值为：FN＝F＋ρgAL。
根据强度条件有：σ＝FN/A＝（F＋ρgAL）/A≤[σ]。
可得钢缆允许长：L≤（A[σ]－F）/（ρgA）。
故由胡克定律可得钢缆总伸长
2.23 铸铁柱尺寸如图2-2-30所示，轴向压力F＝30kN，E＝120GPa。若不计自重，试求柱的变形。
图2-2-30
解：距离柱底x处横截面面积为：A（x）＝（40－x/30）2。
根据胡克定律可得柱的变形量
即柱缩短了0.0804mm。
2.24 图2-2-31中AD和BE两根铸铁柱的形状和尺寸与题2.23中的铸铁柱相同。若设横梁AB为刚体，F＝50kN，试求F作用点C的铅垂位移。
图2-2-31
图2-2-32
解：对杆AB进行受力分析，其力和位移图如图2-2-32所示。根据平衡条件
∑Fy＝0，FN1＋FN2－F＝0
∑MA＝0，FN1×1000－F×800＝0
可得BE、AD杆的轴力为：FN1＝40kN，FN2＝10kN。
由胡克定律
其中A（x）＝（40－x/30）2。
可得两杆的变形量
由图2-2-32所示几何关系可得C点位移
*2.25 图2-2-33（a）所示的简单杆系，其两杆的长度均为l＝3m，横截面面积A＝1000mm2。材料的应力一应变关系如图2-2-33（b）所示。E1＝70GPa，E2＝10GPa。试分别计算当F＝80kN和F＝120kN时，节点B的铅垂位移。
图2-2-33（a）
图2-2-33（b）
解：根据结构和载荷对称性可知两杆内力相等，且FN1＝FN2＝FN＝F。
（1）F＝80kN时，杆内横截面上正应力
σ＝FN/A＝F/A＝80×103/（1000×10－6）Pa＝80MPa＜100MPa
由图2-2-33（b）可知，两杆伸长量均为Δl＝FNl/（EA），其中E＝E1。
形后几何关系如图2-2-34所示。
图2-2-34
可得B点位移
（2）F＝120kN时，杆内横截面上正应力
σ＝FN/A＝F/A＝120×103/（1000×10－6）Pa＝120MPa＞100MPa
因此，变形要分两段进行计算。又变形是在弹性变形范围内产生的，故可以用叠加法将两段杆的变形叠加，当应力为100MPa时，对应的拉力F＝σA＝100×1000＝100kN。因此前一段的拉力为100kN，后一段的拉力为20kN。则根据几何关系可得B点位移
2.26 如图2-2-35所示，打入粘土的木桩长为L，顶上载荷为F。设载荷全由摩擦力来承担，且沿木桩单位长度内的摩擦力f按抛物线f＝Ky2变化，这里K为常数，y是截面距木桩底部的距离。若F＝420kN，L＝12m，A＝64000mm2，E＝10GPa.试确定常数K，并求木桩的缩短量。
图2-2-35
图2-2-36
解：木桩受力分析如图2-2-36所示。根据平衡条件
∑Fy＝0，
将f＝Ky2代入即可确定常数K：K＝3F/L3＝3×420×103/123N/m3＝729N/m3。
在距离下端y处截面上的轴力为
则由胡克定律可得木桩总的变形量
即木桩缩短了1.97mm。
2.27 抗拉（压）刚度为EA的等直杆，受力情况如图2-2-37所示。试问：
（1）总伸长是否为Δl＝F1l1/（EA）＋F2l2/（EA）？如有错误，正确的算式是什么？
（2）应变能否为Vε＝F12l1/（2EA）＋F22l2/（2EA）？如有错误，正确的算式是什么？
（3）若l1＝l2＝l，F1＋F2＝F（常量），试求Vεmax、Vεmin，并求两种情况下的比值F2/F1。
图2-2-37
解：（1）不是。正确的算法为：Δl＝l1（F1－F2）/（EA）－F2l2/（EA）。
（2）不是。正确的算法为：
（3）将l1＝l2＝l，F1＝F2＝F代入（2）所得到的式中，可得轴的应变能
Vε＝l（F2＋5F22－4FF2）/（2EA）
令dVε/dF2＝0，可得应变能的极值点，此时F2＝2F/5，且有
在边界点F1＝0，F2＝F处，有Vε＝F2l/（EA）；
在边界点F2＝0，F1＝F处，有Vε＝F2l/（2EA）。
应变能时关于F2的二次函数，所以应变能的最大值为Vεmax＝F2l/（EA），此时F2/F1→∞。
最小应变能：Vεmin＝F2l/（10EA），此时F2/F1＝3/2。
2.28 长度为l的杆件，抗拉刚度为EA。若在杆件两端沿轴线先作用拉力F1，再作用F2，在作用F2的过程中，变形能的增量是否为ΔVε＝F22l/（2EA）？
解：变形能的增量不是ΔVε＝F22l/（2EA）。
在F1单独作用下杆的应变能：Vε1＝F12l/（2EA）。
在弹性小变形范围内，变形能的大小与加载顺序无关，则先加载F1再加载F2后，杆件的应变能：Vε2＝（F1＋F2）2l/（2EA）。
由此可得应变能的增量为
2.29 如图2-2-38所示，设横梁ABCD为刚体。横截面面积为76.36mm2的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F＝20kN，钢索的E＝177GPa。试求钢索内的应力和C点的铅垂位移。
图2-2-38
图2-2-39
解：对AD梁进行受力分析，如图2-2-39所示。
根据平衡方程
∑MA＝0，FNsin60°×800＋FNsin60°×1600－F×1200＝0
可得钢索承受的拉力：
故钢索内的应力：σ＝FN/A＝11.55×103/（76.36×10－6）Pa＝151MPa。
钢索的变形能：
根据题意，钢索长：l＝400mm×2×2＝1600mm＝1.6m。
利用功能原理，钢索的变形能等于力F做功，即WC＝Vε，故FΔC/2＝F2l/（6EA）。
则在力F作用下C点位移
2.30 钢制受拉杆件如图2-2-40所示，横截面面积A＝200mm2，l＝5m，密度为7.8×103kg/m3，设E＝200GPa。如不计自重，试计算杆件的应变能Vε和应变能密度νε。如考虑自重影响，试计算杆件的应变能，并求应变能密度的最大值。
图2-2-40
解：（1）不计自重时，杆件应变能
应变能密度
（2）考虑自重时，在距离底部为x处横截面上的轴力：FN（x）＝F＋ρAgx。
此时杆件应变能
应变能密度
即在x＝l时，应变能密度取得最大值，为
2.31 在图2-2-41所示简单杆系中，设AB和AC分别为直径是20mm和24mm的圆截面杆，E＝200GPa，F＝5kN。试求A点的铅垂位移。
图2-2-41
图2-2-42
解：对节点A进行受力分析，如图2-2-42所示。
根据平衡条件
∑Fx＝0，－FN1cos45°＋FN2cos30°＝0
∑Fy＝0，FN1sin45°＋FN2sin30°－F＝0
可得各杆轴力：FN1＝0.897F，FN2＝0.732F。
则该杆系总的应变能：
其中根据图中几何关系可知各杆长：
根据功能原理Vε＝W＝FδA/2，可得A点铅垂位移
2.32 由五根钢杆组成的杆系如图2-2-43所示。各杆横截面面积均为500mm2，E＝200GPa。设沿对角线AC方向作用一对20kN的力，试求A、C两点的距离改变。
图2-2-43
图2-2-44
解：分析节点A受力，如图2-2-44所示。
根据平衡条件及其结构和载荷的对称性可知
FNBD＝－F
则该杆系总的应变能为：
根据功能原理有Vε＝FΔAC/2，则A、C两点的距离改变量为
2.33 如图2-2-45所示，截面分别为圆形和正方形的两种薄壁杆件，作用轴向拉力F。若材料的弹性模量为E，泊松比为μ，试分别确定横截面上AB两点的距离改变量δAB。
图2-2-45（a）
图2-2-45（b）
图2-2-45（c）
解：（1）圆截面
轴向线应变为ε＝F/（EA）＝F/（Eπdδ），由于泊松效应，横向线应变为
ε′＝－με＝－μF/（Eπdδ）
横向线应变也可表示为ε′＝Δd/d，所以
Δd/d＝－μF/（Eπdδ）
Δd＝－μF/（Eπδ）
（2）正方形截面
横向线应变为ε＝F/（EA）＝F/（4Eaδ），由于泊松效应，横向线应变为
ε′＝－με＝－μF/（4Eaδ）
横向线应变也可表示为ε′＝Δa/a，所以
Δa/a＝－μF/（4Eaδ）
Δa＝－μF/（4Eδ）
2.34 在图2-2-46所示支架中，设拉杆DE的长为2m，横截面的直径为15mm的圆形，E＝210GPa。若ADB和AEC两杆可以看作是刚体，F＝20kN，试求F力作用点A的铅垂位移和C点的水平位移。
图2-2-46
解：如图2-2-47所示，对整体进行分析。
图2-2-47
根据平衡条件可得：∑MB＝0，FCy＝0.5F。
对AC杆进行受力分析，可得平衡条件
∑MA＝0，
解得：
根据几何关系可得：
故杆DE的轴力：FN＝2Ftan222.5°。
该杆系总的应变能：
根据功能原理FΔA/2＝Vε可得，点A铅垂位移
根据胡克定律可得DE杆的变形量
又根据图2-2-47中所示变形后几何关系得到
故C点水平位移：ΔC＝ΔlDE·4tan22.5°＝0.37×4tan22.5°mm＝0.613mm。
2.35 图2-2-48所示结构中，ABC为刚体，拉杆CD的拉压刚度为EA，长度为l，在A点作用铅垂方向的集中力F。试求A点的铅垂位移。
图2-2-48
解：对B点取矩，∑MB＝0，Fb－FCDa＝0。
拉杆CD的拉力为FCD＝Fb/a。
伸长量Δl＝FCDl/（EA）＝Fbl/（EAa）。
即点C向左运动ΔC＝Fbl/（EAa）。
ABC为刚体，所以有
ΔC/a＝ΔA/b⇒Fbl/（EAa2）＝ΔA/b
所以ΔA＝Fb2l/（EAa2）（↓）。
2.36 图2-2-49所示简易支架中，AB为刚性杆，拉杆CD的拉压刚度为EA。试求B点的铅垂位移。
图2-2-49
解：对A点取矩，∑MA＝0，F·2a＋F·3a－FCDasin60°＝0。
所以拉杆CD的拉力为
FCD＝5F/sin60°
CD杆的伸长量为
由变形协调关系，如图2-2-50，则D点的铅垂位移为
ΔBy＝3ΔDy＝40Fa/EA
图2-2-50
2.37 试用能量法求例2.9中简易起重机B点的水平位移，如图2-2-51所示。
图2-2-51
解：以δBy和δBx表示B点的铅垂和水平位移，FN1和FN2表示钢索BC和钢杆BD的轴力，WP表示P力完成的功。在教材例2.9中，根据外力做工等于杆系应变能的原则，可求得
WP＝PδBy/2＝FN12l1/（2E1A1）＋FN22l/（2EA）①
设想在作用P之前，BC和BD因FBx引起的轴力分别是
②
WBx表示FBx作的功，则有
③
发生位移δBx的过程中，FBx的大小不变。则有外力作功为
W＝WBx＋WP＋FBxδBx
由题意可知，两根构件的轴力分别是（FN1＋FN1Bx）和（FN2＋FN2Bx），因而
令W＝Vε，得
从上式中减去式①和式③两式，得
将式②中的FN1Bx和FN2Bx代入，得
将教材例2.9中的具体数值代入上式，可得：δBx＝2.78×10－3m。
*2.38 如图2-2-52所示简单桁架的三根杆件均为钢材制成，横截面面积均为300mm2时，E＝200GPa。若F＝5kN，试求C点的水平及铅垂位移。
图2-2-52
解：由平衡条件
∑MA＝0，FB×2.25－F×0.75＝0
解得
FB＝F/3
C铰链的受力图如图2-2-53（a）所示。
图2-2-53
α和β角可由图2-2-52的几何关系确定
cosα＝1/1.25，α＝36.9°
cosβ＝1/1.8，β＝56.3°
由平衡条件
∑Fy＝0，FACcosα＋FBCcosβ－F＝0
∑Fx＝0，FACsinα－FBCsinβ＝0
解得
FAC＝0.83F，FBC＝0.6F
B铰链的受力图如图2-2-53（c）所示，由平衡条件
∑Fx＝0，FAB－FBCcosγ＝0
将
代入上式，解得
FAB＝0.5F
杆系的总变形能为
（1）C点垂直位移
应用Vε＝FδYC/2，C点的垂直位移为
（2）C点水平位移
C点无水平力作用，欲求C点的水平位移，则必须在C点加上一水平方向的虚载荷F0，C点的受力图如2-2-53（b）所示，由平衡条件
∑Fy＝0，FACcosα＋FBCcosβ－F＝0
∑Fx＝0，FACsinα－FBCsinβ＋F0＝0
解得
FAC＝0.83F－0.56F0
FBC＝0.6F＋0.8F0
B铰链的受力图如2-2-53（c）所示，由平衡条件
∑Fx＝0，FAB－FBCcosγ＝0
解得
FAB＝0.5F＋0.66F0
杆系的总变形能为
应用卡式定理，C点的水平位移为
令F0＝0，则
2.39 木制短柱的四个角用四个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固，如图2-2-54所示。已知角钢的许用应力[σ]钢＝160MPa，E钢＝200GPa；木材的许用应力[σ]木＝12MPa，E木＝10GPa。试求许可载荷F。
图2-2-54
解：由平衡条件可得：F钢＋F木－F＝0①
由几何关系可知角钢和木材的变形量相等，即有变形协调条件：Δl钢＝Δl木。
又由胡克定律可得：Δl钢＝F钢l/（E钢A钢），Δl木＝F木l/（E木A木）。
其中，查型钢表知单个40mm×40mm×4mm角钢的横截面积：A钢＝308.6mm2。
故有：
②
联立式①②可得各自承受的轴力：F钢＝0.283F，F木＝0.717F。
根据角钢的强度条件：
可得许可载荷：[F1]＝698kN。
根据木材的强度条件：σ木＝F木/A木＝0.717F/0.252≤12MPa。
可得许可载荷：[F2]＝1046kN。
综上，取较小值许可载荷F＝698kN。
2.40 在两端固定的杆件的截面C上，沿轴线作用F力（图2-2-55（a））。试求两端的约束力。
图2-2-55（a）
图2-2-55（b）
解：由图2-2-55（b）可得静力平衡方程：FRA＋FRB－F＝0。
杆两端固定，AB总长度没有改变，则受拉段AC与受压段BC的变形量相互抵消，即有变形协调方程：Δla＋Δlb＝0。
又由胡克定律可知：Δla＝FRAa/（EA），Δlb＝－FRBb/（EA）。
代入变形协调方程，并联立平衡方程可得两端约束力
FRA＝Fb/（a＋b）（↑），FRB＝Fa/（a＋b）（↑）
2.41 两根材料不同但截面尺寸相同的矩形截面杆件，同时固定连接于两端的刚性板上，且E1＞E2，如图2-2-56所示。若使两杆都为均匀拉伸，试求拉力F的偏心距e。
图2-2-56
图2-2-57
解：如图2-2-57所示，由平衡条件可得
∑Fx＝0，－F1－F2＋F＝0①
∑MO＝0，（F1－F2）b/2－Fe＝0②
由题中均匀拉伸可知变形协调条件：Δl1＝Δl2。
在拉力作用下，由胡克定律可得：Δl1＝F1l/（E1A1），Δl2＝F2l/（E2A2）。
代入变形协调条件得：F1l/（E1A）＝F2l/（E2A）③
联立式①②③可得偏心距：
2.42 受预拉力10kN张紧缆索如图2-2-58所示。若在C点再作用向下的载荷15kN，并设缆索不能承受压力，试求在h＝l/5和h＝4l/5两种情况下，AC和BC两段内的内力。
图2-2-58
解：在预拉力单独作用下，绳索内力F0＝10kN。
在载荷F＝15kN作用下，将缆索AB看作是细杆，其受力如图2-2-59所示。
图2-2-59
由平衡条件可得：FA＋FB－F＝0。
变形协调条件：ΔlBC＝ΔlAC。
由胡克定律可得协调方程变为：FB（l－h）/（EA）＝FAh/（EA）。
解得：FA＝F（l－h）/l，FB＝Fh/l。
由叠加原理可得AC段和BC段的内力分别为
FAC＝F0－FA＝F0－F（l－h）/l①
FBC＝F0＋FB＝F0＋Fh/l②
由于钢索不承受压力，即有FAC＝F0－F（l－h）/l＝10－15（l－h）/h≥0，解得：h≥l/3。
故h＝4l/5＞l/3时，由式①②可得：FAC＝7kN，FBC＝22kN。
h＝l/5＜l/3时，力全由BC段承担，则有：FAC＝0，FBC＝15kN。
2.43 在图2-2-60所示结构中，假设AC梁为刚性杆，杆1，2，3横截面面积相等，材料相同。试求三杆的轴力。
图2-2-60
图2-2-61
解：对AC梁进行受力分析，并作出变形位移图，如图2-2-61所示。
由平衡条件可得
∑Fy＝0，FN1＋FN2＋FN3－F＝0①
∑MA＝0，FN2·a＋FN3·2a＝0②
由图2-2-61中所示几何关系可得变形协调方程：Δl1＋Δl3＝2Δl2③
由胡克定律，式③可变形为：FN1l/（EA）＋FN3l/（EA）＝2FN2l/（EA）。
整理得：FN1＋FN3＝2FN2④
联立式①②④可得各杆轴力
FN1＝5F/6，FN2＝F/3，FN3＝－F/6
2.44 如图2-2-62所示，刚性杆AB悬挂于1，2两杆上，1杆的横截面面积为60mm2，2杆为120mm2，且两杆材料相同。若F＝6kN，试求两杆的轴力及支座A的约束力。
图2-2-62
解：对AB杆进行受力分析，并作出变形位移图，如图2-2-63所示。
图2-2-63
由平衡条件可得
∑Fy＝0，FN1＋FN2－FRA－F＝0①
∑MA＝0，FN1×1＋FN2×2－F×3＝0②
由图2-2-63中所示几何关系可得变形协调方程：2Δl1＝Δl2③
由胡克定律式③可变形为：2FN1l1/（EA1）＝FN2l2/（EA2）。
将已知条件l2＝2l1，A2＝120mm2＝2A1代入上式，可得
FN1＝FN2/2④
联立式①②④可得各杆轴力及A处约束力
FN1＝3.6kN，FN2＝7.2kN，FRA＝4.8kN
2.45 图2-2-64所示支架中的三根杆件材料相同，杆1的横截面面积为200mm2，杆2为300mm2，杆3为400mm2。若F＝30kN，试求各杆横截面上的应力。
图2-2-64
解：对节点A进行受力分析，并作出变形位移图，如图2-2-65所示。
图2-2-65
由平衡条件可得
∑Fx＝0，FN1cos30°＋FN3cos30°＋FN2＝0①
∑Fy＝0，FN1sin30°－FN3sin30°－F＝0②
由图2-2-65中变形几何关系可得变形协调条件
Δl1/sin30°＝2Δl2/tan30°＋Δl3/sin30°③
由胡克定律式③可变形为
④
联立式①②④可得各杆轴力
FN1＝25.4kN，FN2＝8.04kN，FN3＝－34.6kN
故各杆内应力
σ1＝FN1/A1＝25.4×103/（200×10－6）Pa＝127MPa
σ2＝FN2/A2＝8.04×103/（300×10－6）Pa＝26.8MPa
σ3＝FN3/A3＝－34.6×103/（400×10－6）Pa＝－86.5MPa
2.46 为了说明用螺栓将机器各部分紧固连接的问题，以图2-2-66所示在铸铁套筒内套钢螺栓的情况为例。若垫片贴住套筒后，再将螺母旋进1/4圈，求螺栓与套筒间的预紧力。
图2-2-66
解：把螺母再旋进1/4圈，螺栓受拉而套筒受压。将螺栓及套筒切开，并以FN1和FN2表示螺栓的拉力和套筒的压力，平衡方程为
FN1－FN2＝0①
如图2-2-66所示变形之间的关系应为
Δl1＋Δl2＝h/4②
Δl1和Δl2皆为绝对值。设钢螺栓的抗拉钢度为E1A1，铸铁套筒的抗压刚度为E2A2，由胡克定律，得
Δl1＝FN1l/（E1A1），Δl2＝FN2l/（E2A2）
于是式②化为
FN1l/（E1A1）＋FN2l/（E2A2）＝h/4③
由式①③可得
2.47 如图2-2-67所示阶梯形钢杆的两端在T1＝5℃时被固定，杆件上下两段的横截面面积分别是A上＝500mm2，A下＝1000mm2。钢材的αl＝12.5×10－6℃－1，E＝200GPa。当温度升高至T2＝25℃时，试求杆内各部分的温度应力。
图2-2-67
图2-2-68
解：如图2-2-68所示，钢杆必受压，且由受力平衡可知：FR1＝FR2。
在温度影响下，钢杆变形量：Δl＝αlΔT。
在两端支反力作用下，钢杆的压缩变形量：Δl′＝Δl1＋Δl2。
则变形协调方程：Δl＝Δl′。
由胡克定律上式可变形为：αlΔT＝FRa/（EA上）＋FRa/（EA下）。
解得：
故上下两部分的温度应力分别为
σ上＝FR/A上＝33.3×103/（500×10－6）＝66.6MPa（压应力）
σ下＝FR/A下＝33.3×103/（1000×10－6）＝33.3MPa（压应力）
2.48 如图2-2-69所示杆系的两杆同为钢杆，E＝200GPa，αl＝12.5×10－6℃－1。两杆的横截面面积同为A＝1000mm2。若BC杆的温度降低20℃，而BD的温度不变，试求两杆的应力。
图2-2-69
解：对节点B进行受力分析，如图2-2-70（b）所示。
图2-2-70
由平衡条件可得：∑Fx＝0，FN1cos30°－FN2＝0①
又根据变形作位移图，如图2-2-70（a）所示，可得变形协调条件
Δl1＝Δl2cos30°②
由胡克定理可得：Δl2＝FN2l2/（EA）。
又杆BC在温度变化和轴力FN1共同作用下的变形量
Δl1＝αl1ΔT－FN1l1/（EA）
则代入式②可得
③
联立式①③可得
FN2＝FN1cos30°＝26.2×103N
故两杆的应力分别为
σ1＝FN1/A1＝30.3×103/（1000×10－6）Pa＝30.3MPa（拉）
σ2＝FN2/A2＝26.2×103/（1000×10－6）Pa＝26.2MPa（压）
2.49 在图2-2-71所示结构中，1，2两杆的抗拉刚度同为E1A1，3杆为E3A3。3杆的长度为l＋δ，其中δ为加工误差。试求将3杆装入AC位置后，1，2，3三杆的轴力。
图2-2-71
解：如图2-2-72所示，分析节点A处受力，并作出变形后节点A的位移图。
图2-2-72
由平衡条件可得
∑Fy＝0，（FN1＋FN2）cosα－FN3＝0①
∑Fx＝0，FN2sinα－FN1sinα＝0②
变形协调条件：Δl1/cosα＋Δl3＝δ。
由胡克定律上式可变形为：FN1l1/（E1A1cosα）＋FN3l/（E3A3）＝δ③
联立式①②③可得各杆轴力
2.50 图2-2-73所示杆系的杆6比名义长度略短，误差为δ，所有杆的刚度同为EA，试求装配后各杆的轴力。
提示：解除杆6，并将它的内力FN6作用于A和C两节点。借用题2.32的方法，求出A，C两点沿AC方向的位移uA和uC。若再以Δl6表杆6的伸长，则变形协调方程应为
uA＋uC＋Δl6＝δ
图2-2-73
解：解除杆6，并以它的内力作用于A、C两节点，如图2-2-74所示。
图2-2-74
由载荷和结构的对称性，根据平衡条件可知各杆的轴力
F5＝F6
解法一：则该杆系总的应变能
根据功能原理知：
解得：F6＝0.207EAδ/a。
故各杆轴力
F5＝F6＝0.207EAδ/a（拉）
解法二：变形协调方程为uA＋uC＋Δl6＝δ。
根据题2.32的结论，有
代入变形协调方程
故各杆轴力为
F5＝F6＝0.207EAδ/a
2.51 在图2-2-75所示杆系中，AB杆比名义长度略短，误差为δ。若各杆材料相同，横截面面积相等，试求装配后各杆的轴力。
图2-2-75
解：分别对节点A、B进行受力分析，如图2-2-76所示。
图2-2-76
由结构和载荷的对称性及平衡条件可得
FN1＝FN2＝FN3，FN4＝FN5①
②
装配后，在杆3轴力作用下，点A下移δA，点B向上移动δB，杆3的伸长变形量Δl3，则变形协调方程：δA＋δB＋Δl3＝δ③
由图2-2-76所示几何关系及胡克定律可得
δA＝Δl1/sin30°＝2Δl1＝2FN1l/（EA）
且Δl3＝FN3l3/（EA）＝FN3l/（EA）。
则式③可变形为：2FN1l/（EA）＋2FN4l/（EA）＋FN3l/（EA）＝δ。
整理得：2FN1＋2FN4＋FN3＝EAδ/l④
联立式①②④可得各杆内力
FN1＝FN2＝FN3＝0.241EAδ/l（拉）
FN4＝FN5＝0.139EAδ/l（压）
2.52 杆1为钢杆，E1＝210GPa，αl1＝12.5×10－6℃－1，A1＝3000mm2。杆2为铜杆，E2＝105GPa，αl2＝19×10－6℃－1，A2＝3000mm2。载荷F＝50kN。若AB为刚杆，且始终保持水平，试问温度是升高还是降低？并求温度的改变量ΔT。
图2-2-77
解：对刚杆AB进行受力分析，如图2-2-78所示。
图2-2-78
由平衡方程∑M0＝0，FN2a＋Fa－FN1a＝0，可得
F＝FN1－FN2①
设温度上升ΔT，刚杆AB能够始终保持水平，则可得协调方程
Δl1＋Δl1T＝0，Δl2＋Δl2T＝0②
由胡克定律可得因轴力引起的伸长量：Δl1＝FN1l1/（E1A1），Δl2＝FN2l2/（E2A2）。
由温度上升引起的压缩量：Δl1T＝αl1ΔTl1，Δl2T＝αl2ΔTl2。
代入式②可得：FN1＋αl1E1A1ΔT＝0，FN2＋αl2E2A2ΔT＝0③
联立式①③得：ΔT＝F/（αl2E2A2－αl1E1A1）。
即
负号表示与假设相反，温度降低26.46°即可保证刚杆AB保持水平。
*2.53 如图2-2-79所示，刚性横梁AB悬挂于三根竖直杆上。l＝2m，F＝40kN，a＝1.5m，b＝1m，c＝0.25m，δ＝0.2mm。1杆由黄铜制成，A1＝200mm2，E1＝100GPa，αl1＝16.5×10－6℃－1。2杆和3杆由碳钢制成，A2＝100mm2，A3＝300mm2，E2＝E3＝200GPa，αl2＝αl3＝12.5×10－6℃－1。设温度升高20℃，试求各杆横截面上的应力。
图2-2-79
解：对刚性横梁AB进行受力分析，如图2-2-80所示。
图2-2-80
由平衡条件可得
∑Fy＝0，FN1＋FN2＋FN3－F＝0①
∑MC＝0，FN1a＋Fc－FN3b＝0②
由图中几何关系可得变形协调方程：b/（a＋b）＝（Δl3－Δl2）（Δl3－Δl1）③
其中在温度变化和轴力共同作用下，各杆变形量
Δl1＝αl1ΔTl1＋FN1l1/（E1A1），Δl2＝αl2ΔTl2＋FN2l2/（E2A2）－δ，Δl3＝αl3ΔTl3＋FN3l3/（E3A3）④
联立式①②③④，可得各杆内力
FN1＝7.92kN，FN2＝10.2kN，FN3＝21.9kN
故各杆应力
σ1＝FN1/A1＝7.92×103/（200×10－6）Pa＝39.6MPa
σ2＝FN2/A2＝10.2×103/（100×10－6）Pa＝102MPa
σ3＝FN3/A3＝21.9×103/（300×10－6）Pa＝73MPa
*2.54 如图2-2-81所示，两端固定的杆件，横截面面积A＝1200mm2，a＝300mm。材料的应力一应变关系见题2.25图2-2-33（b）。试分别求F＝60kN和F＝210kN时，杆件上下两段横截面上的应力。
图2-2-81
图2-2-82
解：如图2-2-82所示，由平衡方程可得：F＝FR1＋FR2①
变形协调方程：Δl1＝Δl2②
由应力—应变曲线可得，转折点处对应的内力值
F＝σA＝100×106×1200×10－6N＝120kN
（1）F＝60kN＜120kN时，根据胡克定律，式②变形为
FR1a/（EA）＝2FR2a/（EA）③
联立式①③得：FR1＝2F/3，FR2＝F/3。
则各段应力
σ2＝FR2/A＝F/（3A）＝16.7MPa（压）
（2）F＝210kN＞120kN时，应分段计算变形量，先假设FR2＜120kN，此时根据胡克定律式②变形为
④
联立式①④得：FR1＝126.7kN，FR2＝83.3kN＜120kN，假设成立，上述等式可用。
则各段应力
σ1＝FR1/A＝126.7×103/（1200×10－6）Pa＝105.6MPa（拉）
σ2＝FR2/A＝83.3×103/（1200×10－6）Pa＝69.4MPa（压）
2.55 试确定图2-2-83中连接或接头中的剪切面和挤压面
图2-2-83（a）
图2-2-83（b）
图2-2-83（c）
解：如图2-2-84（a）所示，AB、CD、B′C′为剪切面，BB′、CC′、DD′为挤压面；
如图2-2-84（b）所示，AB面为剪切面，BC面为挤压面；
如图2-2-84（c）所示，AB、CD面为剪切面，E面为挤压面。
图2-2-84（a）
图2-2-84（b）
图2-2-84（c）
2.56 如图2-2-85所示销钉连接中。已知F＝100kN，销钉直径d＝30mm，材料的许用切应力[τ]＝60MPa。试校核销钉的剪切强度。若强度不够，应改用多大直径的销钉？
图2-2-85
解：图2-2-86为销钉受力图，其两个剪切面受到的剪切力均为FS＝F/2。
则该销钉的切应力
由此可知该销钉强度不够。
图2-2-86
由强度条件
可得
即应改选用直径d≥32.6mm的销钉。
2.57 测定材料剪切强度的剪切器的示意图如图2-2-87所示。设圆试样的直径d＝15mm，当压力F＝31.5kN时，试样被剪断，试求材料的名义剪切极限应力。若取剪切许用应力为[τ]＝80MPa，试问安全因数等于多大？
图2-2-87
图2-2-88
解：如图2-2-88所示，由试件受力部分的分析可知，试件横截面上承受的剪力FS＝F/2。
该试件的名义剪切极限应力
由许用应力的定义[τ]＝τu/n，可得安全系数：n＝τu/[τ]＝89.1/80＝1.1。
2.58 如图2-2-89所示，凸缘联轴节传递的力偶矩为Me＝200N·m，凸缘之间用四根螺栓连接，螺栓内径d≈10mm。对称地分布在直径为80mm的圆周上。如螺栓的剪切许用应力[τ]＝60MPa，试校核螺栓的剪切强度。
图2-2-89
解：4个螺栓均匀承受由外力偶矩引起的剪力，且为F，则由平衡条件Me＝4FD0/2，得
F＝Me/（2D0）＝200/（2×80×10－3）N＝1.25kN
则每个螺栓内的剪应力：
故螺栓满足强度要求，是安全的。
2.59 一螺栓将拉杆与厚为8mm的两块盖板相连接，如图2-2-90所示。各零件材料相同，许用应力均为[σ]＝80MPa，[τ]＝60MPa，[σbs]＝160MPa。若拉杆的厚度δ＝15mm，拉力F＝120kN，试设计螺栓直径d及拉杆宽度b。
图2-2-90
解：（1）确定螺栓直径
①由剪切强度条件
可得
②由挤压强度条件σbs＝F/Abs＝F/（dδ）≤[σbs]，可得
综上，取较大值螺栓直径取d≥50mm。
（2）确定拉杆宽度
由拉杆拉伸强度条件σ＝F/（bδ）≤[σ]，可得
故拉杆宽度取b≥100mm。
2.60 图2-2-91所示的机床花键轴有8个齿。轴与轮的配合长度l＝60mm，外力偶矩Me＝4kN·m。轮与轴的挤压许用应力为[σbs]＝140MPa，试校核花键轴的挤压强度。
图2-2-91
解：假设挤压力均匀作用在8个挤压面上，并设每个面的挤压力的合力为F，则有
解得：F＝20kN。
则挤压应力
故花键轴的挤压强度满足要求，是安全的。
2.61 在厚度δ＝5mm的钢板上，冲出一个形状如图2-2-92所示的孔，钢板剪断时的剪切极限应力τu＝300MPa，求冲床所需的冲力F。
图2-2-92
解：钢板被剪断时，剪应力需满足：τ＝F/A≥τu。
其中剪切面面积：A＝（2πR＋2l）δ。
故冲床所需冲力
F≥τuA＝300×106×（2π×0.05＋2×0.1）×0.005N＝771kN
2.62 可倾式压力机为防止过载采用了压环式保险器（如图2-2-93所示）。当过载时，保险器先被剪断，以保护其他主要零件。设压环式保险器以剪切的形式破坏，且剪切面的高度δ＝20mm，材料的剪切极限应力τu＝200MPa，压力机的最大许可压力F＝630kN。试确定保险器剪切部分的直径D。
图2-2-93
解：保险器剪断时有剪应力τ＝F/A≥τu，其中剪切面面积A＝πDδ，则有
即保险器剪切部分的直径不超过50.1mm。
2.63 车床的传动光杆装有安全联轴器，如图2-2-94所示，当超过一定载荷时，安全销即被剪断。己知安全销的平均直径为5mm，材料为45钢，其剪切极限应力为τu＝370MPa。求安全联轴器所能传递的力偶矩Me。
图2-2-94
解：安全销的剪切面上能承受的最大剪力
FS＝τuA＝τuπd2/4＝370×106×（π/4）×（5×10－3）2N＝7264.9N
所以安全联轴器能传递的最大力偶矩
Me＝FS·D＝7264.9×20×10－3N·m＝145N·m
2.64 图2-2-95所示螺钉在拉力F作用下。己知材料的剪切许用应力[τ]和拉伸许用应力[σ]之间的关系约为：[τ]＝0.6[σ]。试求螺钉直径d与钉头高度h的合理比值。
图2-2-95
解：螺栓的拉应力：σ＝F/A＝4F/（πd2）。
钉头的切应力：τ＝F/A′＝F/（πdh）。
当螺栓和钉头的应力同时达到许用应力值时，d/h值达到最合理，即
σ＝4F/（πd2）＝[σ]，τ＝F/（πdh）＝[τ]
比较可得：d/（4h）＝[τ]/[σ]＝0.6，即d/h＝2.4。
故螺钉杆直径d与钉头高度h的合理比值为2.4。
2.65 木榫接头如图2-2-96所示。α＝b＝120mm，h＝350mm，c＝45mm，F＝40kN。试求接头的剪切和挤压应力。
图2-2-96
解：接头的剪切应力：
挤压应力：
2.66 用两个铆钉将140mm×140mm×12mm的等边角钢铆接在立柱上，构成支托，如图2-2-97所示。若F＝30kN，铆钉的直径为21mm，试求铆钉的切应力和挤压应力。
图2-2-97
解：由结构和载荷的对称性，假设每个铆钉的剪切力均为F/2，则切应力
铆钉的每个挤压面为其与角钢相接触的圆柱面，则挤压应力
2.67 用夹剪剪断直径为3mm的铅丝，如图2-2-98所示。若铅丝的剪切极限应力约为100MPa，试问需要多大的F？若销钉B的直径为8mm，试求销钉内的切应力。
图2-2-98
解：铅丝剪断时，其所承受的剪力
FS＝τuA＝τuπd2/4＝100×106×（π/4）×（3×10－3）2N＝706.86N
如图2-2-99所示，对夹剪进行受力分析，由其对称性，分析一半即可。
图2-2-99
由平衡条件
∑MB＝0，－F×200＋FS×50＝0
∑Fy＝0，FB－FS－F＝0
可得：F＝FS/4＝176.7N，FB＝883.57N。
故销钉B内的切应力：
2.68 如图2-2-100所示，柴油机的活塞销材料为20Cr，[τ]＝70MPa，[σbs]＝100MPa，活塞销外径d1＝48mm，内径d2＝26mm，长度l＝130mm，a＝50mm，活塞直径D＝135mm。气体爆发压力p＝7.5MPa。试对活塞销进行剪切和挤压强度校核。
图2-2-100（a）
图2-2-100（b）
解：如图2-2-100（b）所示，气体爆发作用在活塞上的压力均匀分布，值为
F＝pπD2/4＝7.5×106×（π/4）×0.1352N＝107kN
①剪切强度校核
如图2-2-100（b）所示，活塞销每个剪切面上的剪力为F/2，且活塞受剪切的横截面面积为A＝π（d12－d22）/4，则其剪应力
故剪切强度满足要求。
②挤压强度校核
活塞销两端受活塞挤压，挤压面积为A＝d1·（l－a）/2，则挤压应力
活塞中间段受连杆挤压，挤压面积为A＝d1·a，则挤压应力
综上，活塞销挤压强度也满足要求，是安全的。
